Question

14．如圖，在△ABC中，D為AC的中點(diǎn)，E是AB上的點(diǎn)，且$\frac{AE}{EB}$=$\frac{1}{2}$，CE和BD交于點(diǎn)F，設(shè)$\overrightarrow{BD}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{BA}$=$\overrightarrow$．
（1）用$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$表示$\overrightarrow{BC}$，$\overrightarrow{EC}$；
（2）求$\frac{BF}{FD}$的值．

Answer 1

分析 （1）由$\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}=2\overrightarrow{BD}$得$\overrightarrow{BC}$=2$\overrightarrow{BD}$-$\overrightarrow{BA}$=2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$；$\overrightarrow{EC}$=$\overrightarrow{EA}+\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{EA}+2\overrightarrow{AD}$；
（2）設(shè)$\overrightarrow{EF}=λ$$\overrightarrow{EC}$，求出$\overrightarrow{BF}$，由B，F(xiàn)，D三點(diǎn)共線(xiàn)得$\overrightarrow{BF}$=k$\overrightarrow{BD}$，列方程解出λ，k，得到$\frac{BF}{FD}$的值．

解答 解：（1）∵D是AC的中點(diǎn)，∴$\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}=2\overrightarrow{BD}$，∴$\overrightarrow{BC}$=2$\overrightarrow{BD}$-$\overrightarrow{BA}$=2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$；
∵$\frac{AE}{EB}$=$\frac{1}{2}$，∴$\overrightarrow{EA}$=$\frac{1}{3}\overrightarrow{BA}$=$\frac{1}{3}\overrightarrow$，∵$\overrightarrow{AD}$=$\overrightarrow{BD}-\overrightarrow{BA}$=$\overrightarrow{a}-\overrightarrow$，∴$\overrightarrow{EC}$=$\overrightarrow{EA}+\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{EA}+2\overrightarrow{AD}$=2$\overrightarrow{a}$-$\frac{5}{3}$$\overrightarrow$．
（2）設(shè)$\overrightarrow{EF}=λ$$\overrightarrow{EC}$=2λ$\overrightarrow{a}$-$\frac{5λ}{3}$$\overrightarrow$，則$\overrightarrow{BF}$=$\overrightarrow{BE}+\overrightarrow{EF}$=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow$+2λ$\overrightarrow{a}$-$\frac{5λ}{3}$$\overrightarrow$=2λ$\overrightarrow{a}$+$\frac{2-5λ}{3}$$\overrightarrow$．
∵B，F(xiàn)，D三點(diǎn)共線(xiàn)，∴$\overrightarrow{BF}$=k$\overrightarrow{BD}$=k$\overrightarrow{a}$，∴$\left\{\begin{array}{l}{2λ=k}\\{\frac{2-5λ}{3}=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{λ=\frac{2}{5}}\\{k=\frac{4}{5}}\end{array}\right.$．
∴$\overrightarrow{BF}=\frac{4}{5}\overrightarrow{BD}$，∴$\frac{BF}{FD}$=4．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平面向量的基本定理，三點(diǎn)共線(xiàn)原理的應(yīng)用．