Question

10．在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F(xiàn)分別為CD和C₁C的中點(diǎn)，則直線AE與D₁F所成角的余弦值為（　�。�

• A． $\frac{1}{3}$
• B． $\frac{2}{5}$
• C． $\frac{3}{5}$
• D． $\frac{3}{7}$

Answer 1

分析 以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DD₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出直線AE與D₁F所成角的余弦值．

解答 解：以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DD₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中棱長(zhǎng)為2，
則A（2，0，0），E（0，1，0），D₁（0，0，2），F(xiàn)（0，2，1），
$\overrightarrow{AE}$=（-2，1，0），$\overrightarrow{{D}_{1}F}$=（0，2，-1），
設(shè)直線AE與D₁F所成角為θ，
則cosθ=$\frac{|\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{{D}_{1}F}|}{|\overrightarrow{AE}|•|\overrightarrow{{D}_{1}F}|}$=$\frac{2}{\sqrt{5}•\sqrt{5}}$=$\frac{2}{5}$．
∴直線AE與D₁F所成角的余弦值為$\frac{2}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查兩異面直線所成角的余弦值的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．