Question

已知圓C經過點A（-1，1），B（0，2），且圓心在直線x-y-1=0上．
（1）求圓C的方程；
（2）求過點（2，3）且被圓C截得的弦長為4的直線l的方程；
（3）若點P（x，y）在圓C上，求t=

x-2

y-3

的取值范圍．

Answer 1

考點：圓的標準方程,直線與圓的位置關系

專題：計算題,直線與圓

分析：（1）設圓的方程為x²+y²+Dx+Ey+F=0，利用圓C經過點A（-1，1），B（0，2），且圓心在直線x-y-1=0上，求出D，E，F(xiàn)，即可求圓C的方程；
（2）弦長為4，圓心到直線l的距離為1，分類討論，即可求出直線l的方程；
（3）t=

x-2

y-3

可得x-2-t（y-3）=0，則

|-1+3t|

1+t2

≤

5

，即可求t=

x-2

y-3

的取值范圍．

解答： 解：（1）設圓的方程為x²+y²+Dx+Ey+F=0，則
∵圓C經過點A（-1，1），B（0，2），且圓心在直線x-y-1=0上，
∴

1+1-D+E+F=0 4+2E+F=0 - D 2 + E 2 -1=0

，
∴D=-2，E=0，F(xiàn)=-4，
∴圓的方程為x²+y²-2x-4=0；
（2）圓的方程可化為（x-1）²+y²=5，圓心為（1，0），半徑為

5

，
∵弦長為4，
∴圓心到直線l的距離為1．
①直線的斜率不存在時，方程為x=2，滿足題意；
②直線的斜率存在時，設方程為k（x-2）-y+3=0，則

|-k+3|

1+k2

=1，∴k=

4

3

，
∴直線的方程為4x-3y+1=0，
綜上所述，直線的方程為x=2或4x-3y+1=0；
（3）t=

x-2

y-3

可得x-2-t（y-3）=0，則

|-1+3t|

1+t2

≤

5

，
解得-

1

2

≤t≤2．

點評：本題考查圓的方程，考查直線與圓的位置關系，考查分類討論的數(shù)學思想，屬于中檔題．