Question

已知S_n是數(shù)列{a_n}的前n項和，對任意的n∈N^*，點（n，S_n）在函數(shù)y=

4x-1

3

的圖象上，曲線y=4x²+4x在x=n處的切線斜率為k=c_n
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項公式a_n；
（Ⅱ）若b_n=a_n•c_n，求數(shù)列{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）由點（n，S_n）在函數(shù)y=

4x-1

3

的圖象上得到Sn=

1

3

(4n-1)，然后結(jié)合a_n=S_n-S_n-1求得an=4n-1；
（Ⅱ）由y=4x²+4x，得y′|_x=n=8n+4，即c_n=8n+4，把a_n、c_n代入b_n=a_n•c_n后利用錯位相減法求數(shù)列{b_n}的前n項和T_n．

解答： 解：（Ⅰ）∵點（n，S_n）在函數(shù)y=

4x-1

3

的圖象上，∴Sn=

1

3

(4n-1)，
當(dāng)n=1時，a₁=S₁=1；
當(dāng)n≥2時，an=Sn-Sn-1=

1

3

(4n-1)-

1

3

(4n-1-1)=4^n-1．
當(dāng)n=1時上式成立，
∴an=4n-1；
（Ⅱ）由y=4x²+4x，得y′|_x=n=8n+4，即c_n=8n+4．
b_n=a_n•c_n=（2n+1）•4ⁿ．
∴Tn=3•41+5•42+…+(2n+1)•4n，
4Tn=3•42+5•43+…+(2n-1)•4n+(2n+1)•4n+1，
兩式作差得：-3Tn=12+2(42+43+…+4n)-(2n+1)•4n+1
=12+2•

16(1-4n-1)

1-4

-(2n+1)•4n+1=

4

3

-(2n+

1

3

)•4n+1．
∴Tn=(

2n

3

+

1

9

)•4n+1-

4

9

．

點評：本題考查了數(shù)列遞推式，考查了利用導(dǎo)數(shù)研究過曲線上某點處的切線方程，訓(xùn)練了錯位相減法求數(shù)列的和，是中檔題．