Question

若定義在R上的函數(shù)f（x）滿足：對(duì)任意m，n∈R有f（m+n）=f（m）+f（n）-2，
（1）求證：函數(shù)y=f（x）-2為奇函數(shù)．
（2）若函數(shù)f（x）在R上為增函數(shù)，且f（1）=3，解關(guān)于x的不等式f（4^x+1）+f（2^x+1）＞8．

Answer 1

考點(diǎn)：抽象函數(shù)及其應(yīng)用,函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì),函數(shù)奇偶性的判斷

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）令g（x）=f（x）-2，則只需證明g（-x）=-g（x）即可；
（2）利用條件“f（m+n）=f（m）+f（n）-2”結(jié)合f（1）=3將結(jié)論化成f（a）＞f（b）的形式，然后借助于函數(shù)的單調(diào)性構(gòu)造出關(guān)于x的不等式（組）解之即可．

解答： 解：（1）令m=n=0，代入原式得f（0）=2．
再令m=x，n=-x，代入原式得2=f（x）+f（-x）-2，
整理得f（-x）-2=-[f（x）-2]，
所以函數(shù)y=f（x）-2是奇函數(shù)．
（2）f（4^x+1）+f（2^x+1）＞8可化為：
f（4^x）+f（1）+f（2^x）+f（1）-4＞8，又f（1）=3，
f（4^x）+f（2^x）-2＞6-2=f（3）+f（3）-2
所以f（4^x+2^x）＞f（6），
由函數(shù)f（x）在R上為增函數(shù)得：4^x+2^x＞6，
所以（2^x）²+2^x-6＞0，即2^x＞2或2^x＜-3（舍）
所以x＞1即為所求．

點(diǎn)評(píng)：抽象函數(shù)涉及到函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性等性質(zhì)時(shí)，一般從定義入手進(jìn)行分析，同是本題還考查了賦值法的應(yīng)用．