Question

數(shù)列{a_n}滿足a₁=4，a_n=4-

4

an-1

（n≥2），設(shè)b_n=

1

an-2

．
（1）判斷數(shù)列{b_n}是否為等差數(shù)列并證明；
（2）求數(shù)列{a_n}的通項公式．

Answer 1

考點：數(shù)列遞推式,等差關(guān)系的確定

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由已知得a_n-2=2-

4

an-1

=2×

an-1-2

an-1

，從而

1

an-2

=

1

2

+

1

an-1-2

，由此能證明數(shù)列{b_n}是公差為

1

2

的等差數(shù)列．
（2）由b1=

1

a1-2

=

1

2

，得b_n=

1

2

+(n-1)×

1

2

=

n

2

，由此能求出a_n=

2

n

+2．

解答： 解：（1）數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列，證明如下：
∵數(shù)列{a_n}滿足a₁=4，a_n=4-

4

an-1

（n≥2），
∴a_n-2=2-

4

an-1

=2×

an-1-2

an-1

，
∴

1

an-2

=

1

2

+

1

an-1-2

，
∵b_n=

1

an-2

，
∴b_n-b_n-1=

1

2

，
∴數(shù)列{b_n}是公差為

1

2

的等差數(shù)列．
（2）∵b1=

1

a1-2

=

1

2

，
∴b_n=

1

2

+(n-1)×

1

2

=

n

2

，
∴

1

an-2

=

n

2

，
∴a_n=

2

n

+2．

點評：本題考查等差數(shù)列的判斷與證明，考查數(shù)列的通項公式的求法，是中檔題，解題時要注意構(gòu)造法的合理運用．