Question

已知.

（Ⅰ）求的最小值；

（Ⅱ）若存在，使不等式成立，求的取值范圍；

（Ⅲ）當(dāng)時(shí)，證明：.

 

Answer 1

（Ⅰ）最小值；（Ⅱ）；（Ⅲ）見(jiàn)解析.

【解析】

試題分析：（Ⅰ）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，判斷單調(diào)性，得在上為減函數(shù)，

在上為增函數(shù)∴當(dāng)時(shí)，有最小值

（Ⅱ）對(duì)式子轉(zhuǎn)化

要想存在正數(shù),使,則有，

轉(zhuǎn)化為求的最大值問(wèn)題，借助導(dǎo)數(shù)知識(shí)求解，

∴所求的的取值范圍是.

（Ⅲ）

當(dāng)時(shí)，，因此在上為增函數(shù)

∴

由（Ⅰ）知，

∴

即

試題解析：（Ⅰ）∵的定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111719530301217899/SYS201411171953078092723191_DA/SYS201411171953078092723191_DA.024.png">

∴由

由

∴在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)

∴當(dāng)時(shí)，有最小值

（Ⅱ）

令

則

∴當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí)

∴

要想存在正數(shù),使,則有

∴所求的的取值范圍是.

（Ⅲ）

當(dāng)時(shí)，，因此在上為增函數(shù)

∴

由（Ⅰ）知，

∴

即

考點(diǎn)：不等式的證明.