Question

2．已知函數(shù)f（x）=lnx，g（x）=$\frac{m（x+n）}{x+1}$（m＞0）．
（Ⅰ）若函數(shù)y=f（x）與y=g（x）在x=1處有相同的切線，求m的值；
（Ⅱ）若函數(shù)y=f（x）-g（x）在定義域內(nèi)不單調(diào)，求m-n的取值范圍；
（Ⅲ）若?x＞0，恒有|f（x）|≥|g（x）|成立，求實(shí)數(shù)m的最大值．

Answer 1

分析 （I）直接利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求出m值；
（II）首先對(duì)y求導(dǎo)y'=f'（x）-g'（x）=$\frac{{x}^{2}+[2-m（1-n）]x+1}{x（x+1）^{2}}$，因?yàn)閥=f（x）-g（x）在定義域內(nèi)不單調(diào)，所以h（x）=x²+[2-m（1-n）]x+1 在（0，+∞）內(nèi)有至少一個(gè)實(shí)根且曲線與x不相切．
（III）當(dāng)x=1時(shí)，由|f（1）|≥|g（1）|得n=1，當(dāng)x＞1時(shí)，f（x）＞0，g（x）＞0；當(dāng)0＜x＜1時(shí)，f（x）＜0，g（x）＜0；
令k（x）=f（x）-g（x），則問題轉(zhuǎn)化為：當(dāng)x＞1時(shí)，k（x）≥0恒成立，當(dāng)0＜x＜1時(shí)，k（x）≤0恒成立；

解答 解：（I）函數(shù)y=f（x）在x=1處的切線方程為y=x-1，
由g（1）=0得n=-1，由g'（1）=1得m=2；
（II）y'=f'（x）-g'（x）=$\frac{{x}^{2}+[2-m（1-n）]x+1}{x（x+1）^{2}}$，
因?yàn)閥=f（x）-g（x）在定義域內(nèi)不單調(diào)，所以
h（x）=x²+[2-m（1-n）]x+1 在（0，+∞）內(nèi)有至少一個(gè)實(shí)根且曲線與x不相切．
因?yàn)閔（0）=1＞0，于是[2-m（1-n）]²-4＞0；
∴m（1-n）＞4或m（1-n）＜0；
由m（1-n）＞4知m+（1-n）≥2$\sqrt{m（1-n）}$＞$2\sqrt{4}$，所以m-n＞3；
（III）當(dāng)x=1時(shí)，由|f（1）|≥|g（1）|得n=1，當(dāng)x＞1時(shí)，f（x）＞0，g（x）＞0；
當(dāng)0＜x＜1時(shí)，f（x）＜0，g（x）＜0；
令k（x）=f（x）-g（x），則問題轉(zhuǎn)化為：
當(dāng)x＞1時(shí)，k（x）≥0恒成立，當(dāng)0＜x＜1時(shí)，k（x）≤0恒成立；
而k（x）=$\frac{x+2-2m+\frac{1}{x}}{（x+1）^{2}}$，當(dāng)x≥1時(shí)，函數(shù)y=x+2-2m+$\frac{1}{x}$是單調(diào)函數(shù)，最小值為4-2m，
為使k（x）≥0恒成立，注意到k（1）=0，所以4-2m≥0，即m≤2；
同理，當(dāng)0＜x＜1時(shí)，m≤2；
綜上：m≤2．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了導(dǎo)數(shù)幾何意義，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性以及轉(zhuǎn)化思想應(yīng)用，屬中等題．