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17.(1)已知角α終邊上一點P(m,5)(m≠0),且 cosα=\frac{m}{13}.求sinα+cosα+tanα的值;
(2)已知β∈(0,\frac{π}{4})且sinβcosβ=\frac{3}{10},求( I)tanβ的值;
(II)sin2α+2cos2α+4sinαcosαsin2β+2cos2β+4sinβcosβ.

分析 (1)利用任意角的三角函數(shù)的定義可求m的值,進而得解sinα+cosα+tanα的值;
(2)( I)由已知利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式,結(jié)合范圍β∈(0,\frac{π}{4}),即可得解.( II)利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式化簡所求,即可計算得解.

解答 解:(1)當(dāng)m>0時,cosα=\frac{m}{{\sqrt{{m^2}+{5^2}}}}=\frac{m}{13},所以,m=13------(1分)
sinα+cosα+tanα=\frac{269}{156}-----(3分)
當(dāng)m<0時,cosα=\frac{m}{{\sqrt{{m^2}+{5^2}}}}=\frac{m}{13},所以,m=-13------(4分)
sinα+cosα+tanα=\frac{-149}{156}-----(6分)
(2)( I)sinβcosβ=\frac{3}{10}=\frac{sinβcosβ}{si{n}^{2}β+co{s}^{2}β}=\frac{tanβ}{ta{n}^{2}β}+1,------(8分)
解得:tanβ=3或\frac{1}{3},…(9分)
因為β∈(0,\frac{π}{4}),由三角函數(shù)線可知,tanβ=\frac{1}{3},…(11分)
( II)原式=\begin{array}{l}\frac{{{{sin}^2}β+2{{cos}^2}β+4sinβcosβ}}{{{{sin}^2}β+{{cos}^2}β}}=\frac{{{{tan}^2}β+2+4tanβ}}{{{{tan}^2}β+1}}------(13分)\\=\frac{31}{10}-------(14分)\end{array}

點評 本題主要考查任意角的三角函數(shù)的定義,同角三角函數(shù)基本關(guān)系式在三角函數(shù)化簡求值中的應(yīng)用,考查了計算能力和轉(zhuǎn)化思想,屬于基礎(chǔ)題.

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