Question

2．設(shè)雙曲線(xiàn)$\frac{y^2}{a^2}-\frac{x^2}{6}$=1的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，離心率為$\sqrt{3}$．
（1）求此雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)l₁、l₂的方程；
（2）若A、B分別為l₁、l₂上的點(diǎn)，且2|AB|=5|F₁F₂|，求線(xiàn)段AB的中點(diǎn)M的軌跡方程，并說(shuō)明軌跡是什么曲線(xiàn)．

Answer 1

分析 （1）利用離心率為$\sqrt{3}$，結(jié)合c²=a²+6，可求a，c的值，從而可求雙曲線(xiàn)方程，即可求得漸近線(xiàn)方程；
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB的中點(diǎn)M（x，y），利用2|AB|=5|F₁F₂|，建立方程，根據(jù)A、B分別為l₁、l₂上的點(diǎn)，化簡(jiǎn)可得軌跡方程及對(duì)應(yīng)的曲線(xiàn)．

解答 解：（1）∵e=$\sqrt{3}$，∴c²=3a²，∵c²=a²+6，∴a=$\sqrt{3}$，c=3．
∴雙曲線(xiàn)方程為$\frac{{y}^{2}}{3}-\frac{{x}^{2}}{6}$=1，漸近線(xiàn)方程為y=±$\frac{\sqrt{2}}{2}$x．
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB的中點(diǎn)M（x，y），
∵2|AB|=5|F₁F₂|，∴|AB|=$\frac{5}{2}$|F₁F₂|=$\frac{5}{2}$×2c=15，∴（x₁-x₂）²+（y₁-y₂）²=225，
∵y₁=$\frac{\sqrt{2}}{2}$x₁，y₂=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$x₂，2x=x₁+x₂，2y=y₁+y₂，
∴y₁+y₂=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（x₁-x₂），y₁-y₂=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（x₁+x₂），
∴2×（2y）²+$\frac{1}{2}$×（2x）²=225，
∴$\frac{{y}^{2}}{\frac{225}{8}}+\frac{{x}^{2}}{\frac{225}{2}}$=1，對(duì)應(yīng)的曲線(xiàn)為橢圓．

點(diǎn)評(píng) 本題考查軌跡方程的求解，考查雙曲線(xiàn)的幾何性質(zhì)，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．