Question

11．已知不等式組$\left\{\begin{array}{l}x+2y-4≤0\\ x-y-1≤0\\ x≥1\end{array}\right.$表示的平面區(qū)域?yàn)棣�，若在Ω中存在一點(diǎn)P（x，y）使得-2≤ax-y≤3成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是-2≤a≤$\frac{9}{2}$．

Answer 1

分析 作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，利用參數(shù)分離法將不等式-2≤ax-y≤3轉(zhuǎn)化為$\frac{y-2}{x}$≤a≤$\frac{y+3}{x}$，利用直線的斜率公式結(jié)合數(shù)形結(jié)合進(jìn)行求解即可．

解答 解：作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖：
則B（1，0），A（1，$\frac{3}{2}$）
則x≥1，
則不等式-2≤ax-y≤3等價(jià)為y-2≤ax≤y+3，即$\frac{y-2}{x}$≤a≤$\frac{y+3}{x}$，
設(shè)z=$\frac{y-2}{x}$，則z的幾何意義是區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)到點(diǎn)E（0，2）的斜率，
則EB的斜率z=$\frac{0-2}{1}$=-2，
EC的斜率z=-$\frac{1}{2}$，此時(shí)-2≤z≤$-\frac{1}{2}$．
設(shè)m=$\frac{y+3}{x}$，則m的幾何意義是區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)到點(diǎn)F（-3，0）的斜率，
則FA的斜率m=$\frac{\frac{3}{2}+3}{1}$=$\frac{9}{2}$，
FB的斜率m=0，此時(shí)0≤m≤$\frac{9}{2}$，
若在Ω中存在一點(diǎn)P（x，y）使得-2≤ax-y≤3成立，
則-2≤a≤$\frac{9}{2}$，
故答案為：-2≤a≤$\frac{9}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，利用參數(shù)分離法將不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化，構(gòu)造分式結(jié)合直線的斜率公式利用數(shù)形結(jié)合進(jìn)行求解是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)，有一定的難度．