Question

20．如圖，AB為圓O的直徑且AB=4，C為圓上不同于A、B的任意一點(diǎn)，若P為半徑OC上的動(dòng)點(diǎn)，則（$\overrightarrow{PA}$+$\overrightarrow{PB}$）•$\overrightarrow{PC}$的最小值是（　�。�

• A． -4
• B． -3
• C． -2
• D． -1

Answer 1

分析 根據(jù)條件，可設(shè)$\overrightarrow{PO}=x\overrightarrow{CO}$，從而得出$\overrightarrow{PC}=（x-1）\overrightarrow{CO}$，并且0≤x≤1，這樣便可得出$（\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}）•\overrightarrow{PC}=8（{x}^{2}-x）$，配方即可求出8（x²-x）的最小值，從而得出答案．

解答 解：設(shè)$\overrightarrow{PO}=x\overrightarrow{CO}$，則$\overrightarrow{CP}=（1-x）\overrightarrow{CO}$，0≤x≤1；
∴$\overrightarrow{PC}=（x-1）\overrightarrow{CO}$；
∴$（\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}）•\overrightarrow{PC}$
=$2\overrightarrow{PO}•\overrightarrow{PC}$
=$2x（x-1）{\overrightarrow{CO}}^{2}$
=8（x²-x）
=$8（x-\frac{1}{2}）^{2}-2$；
∴$x=\frac{1}{2}$時(shí)，$（\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}）•\overrightarrow{PC}$取最小值-2．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 考查向量數(shù)乘的幾何意義，向量加法的平行四邊形法則，向量數(shù)量積的計(jì)算公式，以及配方法求二次函數(shù)的最值．