Question

9．如圖，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面△ABC是等邊三角形，側(cè)面AA₁B₁B為正方形，且AA₁⊥平面ABC，D為線段AB上的一點(diǎn)．
（Ⅰ） 若BC₁∥平面A₁CD，確定D的位置，并說(shuō)明理由；
（Ⅱ） 在（Ⅰ）的條件下，求二面角A₁D-C-BC₁的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）D為AB的中點(diǎn)，理由如下：連接AC₁，交A₁C于點(diǎn)E，可知E為AC₁的中點(diǎn)，連接DE，利用線面平行的性質(zhì)定理、三角形中平行線的性質(zhì)即可得出．
（Ⅱ）不妨設(shè)AB=2，分別取BC，B₁C₁的中點(diǎn)O，O₁，連接AO，OO₁，可知OB，OO₁，OA兩兩互相垂直，建立如圖的空間直角坐標(biāo)系O-xyz．利用線面垂直的性質(zhì)定理、向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系可得：平面A₁CD的法向量$\overrightarrow{m}$，又平面BCC₁的一個(gè)法向量$\overrightarrow{n}$=（0，0，1），利用向量夾角公式即可得出．

解答 解：（Ⅰ）D為AB的中點(diǎn)，理由如下：
連接AC₁，交A₁C于點(diǎn)E，可知E為AC₁的中點(diǎn)，連接DE，
因?yàn)锽C₁∥平面A₁CD，
平面ABC₁∩平面A₁CD=DE，
所以BC₁∥DE，
故D為AB的中點(diǎn)．（4分）
（Ⅱ）不妨設(shè)AB=2，分別取BC，B₁C₁的中點(diǎn)O，O₁，連接AO，OO₁，可知OB，OO₁，OA兩兩互相垂直，建立如圖的空間直角坐標(biāo)系O-xyz．
知$C（-1，0，0），D（\frac{1}{2}，0，\frac{{\sqrt{3}}}{2}），{A_1}（0，2，\sqrt{3}）$，
則$\overrightarrow{CD}=（\frac{3}{2}，0，\frac{{\sqrt{3}}}{2}）$，$\overrightarrow{C{A_1}}=（1，2，\sqrt{3}）$，
設(shè)面A₁CD的法向量m=（x，y，z），
由$\left\{\begin{array}{l}m•\overrightarrow{CD}=0\\ m•\overrightarrow{C{A_1}}=0\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}\frac{3}{2}x+\frac{{\sqrt{3}}}{2}z=0\\ x+2y+\sqrt{3}z=0\end{array}\right.$
令x=1，得A₁CD的一個(gè)法向量為$m=（1，1，-\sqrt{3}）$，
又平面BCC₁的一個(gè)法向量n=（0，0，1），
設(shè)二面角A₁D-C-BC₁的平面角為α，
則$cosα=|{cos＜m，n＞}|=\frac{{|{m•n}|}}{|m|•|n|}=\frac{{\sqrt{15}}}{5}$．
即該二面角的余弦值為$\frac{{\sqrt{15}}}{5}$．（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了線面垂直與平行的判定與性質(zhì)定理、向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系、平面法向量的應(yīng)用、向量夾角公式、三角形中位線定理，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．