Question

17．在三視圖如圖的多面體中，最大的一個面的面積為（　�。�

• A． 2$\sqrt{2}$
• B． $\sqrt{5}$
• C． 3
• D． 2$\sqrt{5}$

Answer 1

分析 由三視圖知該幾何體是三棱錐，由三視圖和勾股定理求出棱長，由棱長的大小判斷出面積最大的面，由余弦定理、三角形的面積公式求出最大面的面積．

解答 解：由三視圖可知幾何體是三棱錐，如圖所示，
且PD⊥平面ABC，D是AC的中點，PD=2，
底面是等腰直角三角形，AC=BC=2、AC⊥BC，
∴PA=PC=BD=$\sqrt{{2}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{5}$，AB=2$\sqrt{2}$
則PB=$\sqrt{P{D}^{2}+B{D}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}+（\sqrt{5}）^{2}}$=3，
∴棱長PB最大，其次AB，
則△PAB的面積是各個面中面積最大的一個面，
在△PAB中，由余弦定理得cos∠ABP=$\frac{A{B}^{2}+P{B}^{2}-A{P}^{2}}{2•AB•PB}$
=$\frac{8+9-5}{2×2\sqrt{2}×3}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∵0＜∠ABP＜π，∴∠ABP=$\frac{π}{4}$，
則△PAB的面積S=$\frac{1}{2}•AB•PB•sin∠ABP$=$\frac{1}{2}×2\sqrt{2}×3×\frac{\sqrt{2}}{2}$=3，
故選：C．

點評 本題考查由三視圖求幾何體的表面積，以及余弦定理、三角形的面積公式，由三視圖正確復(fù)原幾何體是解題的關(guān)鍵，考查空間想象能力．