Question

12．如果長(zhǎng)方體三面的面積分別是$\sqrt{2}，\sqrt{3}，\sqrt{6}$，那么它的外接球的半徑是（　�。�

• A． $\sqrt{6}$
• B． $\frac{{\sqrt{6}}}{2}$
• C． $\sqrt{3}$
• D． $\frac{{3\sqrt{2}}}{2}$

Answer 1

分析 根據(jù)題意建立方程組，解出長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為$\sqrt{2}$，1，$\sqrt{3}$，從而算出長(zhǎng)方體的對(duì)角線長(zhǎng)l=$\sqrt{6}$，可得外接球的直徑，即可算出長(zhǎng)方體外接球的半徑．

解答 解：設(shè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為x、y、z，
∵長(zhǎng)方體共頂點(diǎn)的三個(gè)面的面積分別是$\sqrt{2}，\sqrt{3}，\sqrt{6}$，
∴xy=$\sqrt{2}$，yz=$\sqrt{3}$，xz=$\sqrt{6}$，解之得x=$\sqrt{2}$，y=1，z=$\sqrt{3}$，
可得長(zhǎng)方體的對(duì)角線長(zhǎng)l=$\sqrt{6}$．
設(shè)長(zhǎng)方體外接球的半徑為R，則2R=l=$\sqrt{6}$，可得R=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題給出長(zhǎng)方體共頂點(diǎn)的三個(gè)面的面積，求外接球的半徑．著重考查了長(zhǎng)方體的對(duì)角線長(zhǎng)公式、矩形面積公式等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．