Question

已知A（-1，0），B是圓C：（x-1）²+y²=16上一動點，線段AB的垂直平分線交BC于點P．
（1）求動點P的軌跡E的方程；
（2）若過點A（-1，0）的直線L交軌跡E于M、N兩點，滿足

OM

•

ON

=-2，求直線L的方程．

Answer 1

考點：軌跡方程

專題：計算題,直線與圓,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（1）利用橢圓的定義判斷點P的軌跡 是以A、C為焦點的橢圓，求出a、b的值，即得橢圓的方程；
（2）設直線l：y=k（x+1），代入橢圓方程化簡，設 M （x₁，y₁ ），N（x₂，y₂），利用根與系數(shù)的關系以及

OM

•

ON

=-2，解方程求出斜率k，從而求得直線l的方程．

解答： 解：（1）由題意得，圓心C（1，0），半徑等于4，
連接PA，則|PA|=|PB|，
∴|PC|+|PA|=|PC|+|PB|=|BC|=4＞|AC|=2，
故點P的軌跡是：以A、C為焦點的橢圓，2a=4，即有a=2，c=1，
∴b=

a2-c2

=

3

，
∴橢圓的方程為

x2

4

+

y2

3

=1；
（2）設直線l的方程為 y=k（x+1），設 M （x₁，y₁ ），N（x₂，y₂），
則

OM

•

ON

=-2，即有x₁x₂+y₁y₂=-2 ①．
把線l的方程代入橢圓方程化簡可得 （3+4k²）x²+8k²x+4k²-12=0，
∴x₁+x₂=

-8k2

3+4k2

，x₁x₂=

4k2-12

3+4k2

，
∴y₁y₂=（kx₁+k）（kx₂+k）=k²x₁x₂+k²（x₁+x₂）+k²，
∴x₁x₂+y₁y₂=（k²+1）•

4k2-12

3+4k2

+k²•

-8k2

3+4k2

+k²=-2，
∴k=

2

或-

2

．
則所求直線方程為：y=±

2

（x+1）．

點評：本題考查用定義法求點的軌跡方程，兩個向量的數(shù)量積公式，一元二次方程根與系數(shù)的關系，求直線l的斜率是解題的難點．