Question

2．已知函數(shù)f（x）=x³+ax²+b（a，b∈R）
（1）若函數(shù)f（x）在x=1處取得極值2，求a，b的值；
（2）求試討論f（x）的單調(diào)性；
（3）若b=c-a（實(shí)數(shù)c是a與無(wú)關(guān)的常數(shù)），當(dāng)函數(shù)f（x）有三個(gè)不同的零點(diǎn)時(shí)，a的取值范圍恰好是$（-∞，-3）∪（1，\frac{3}{2}）∪（\frac{3}{2}，+∞）$，求c的值．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，得到關(guān)于a，b的方程組，解出即可；
（2）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過(guò)討論a的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；
（3）求出f（x）的極值，函數(shù)f（x）有3個(gè)零點(diǎn)等價(jià)于f（0）•f（-$\frac{2}{3}$a）=b（$\frac{4}{27}$a³+b）＜0，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出c的值即可．

解答 解：（1）f（x）=x³+ax²+b，f′（x）=3x²+2ax，
若函數(shù)f（x）在x=1處取得極值2，
則$\left\{\begin{array}{l}{f′（1）=3+2a=0}\\{f（1）=1+a+b=2}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{3}{2}}\\{b=\frac{5}{2}}\end{array}\right.$；
（2）f′（x）=3x²+2ax=x（3x+2a），
a＞0時(shí)，令f′（x）＞0，解得：x＞0或x＜-$\frac{2}{3}$a，
∴f（x）在（-∞，-$\frac{2}{3}$a）遞增，在（-$\frac{2}{3}$a，0）遞減，在（0，+∞）遞增，
a=0時(shí)，f′（x）≥0，f（x）在R遞增，
a＜0時(shí)，令f′（x）＞0，解得：x＜0或x＞-$\frac{2}{3}$a，
∴f（x）在（-∞，0）遞增，在（0，-$\frac{2}{3}$a）遞減，在（-$\frac{2}{3}$a，+∞）遞增；
（3）由（2）得：函數(shù)f（x）有2個(gè)極值，
分別是：f（0）=b，f（-$\frac{2}{3}$a）=$\frac{4}{27}$a³+b，
則函數(shù)f（x）有3個(gè)零點(diǎn)等價(jià)于f（0）•f（-$\frac{2}{3}$a）=b（$\frac{4}{27}$a³+b）＜0，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{-{\frac{4}{27}a}^{3}＜b＜0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a＜0}\\{0＜b＜-{\frac{4}{27}a}^{3}}\end{array}\right.$，
又b=c-a，∴a＞0時(shí)，$\frac{4}{27}$a³-a+c＞0或a＜0時(shí)，$\frac{4}{27}$a³-a+c＜0，
設(shè)g（a）=$\frac{4}{27}$a³-a+c，
∵函數(shù)f（x）有三個(gè)不同的零點(diǎn)時(shí)，a的取值范圍恰好是$（-∞，-3）∪（1，\frac{3}{2}）∪（\frac{3}{2}，+∞）$，
∴（-∞，-3）上，g（a）＜0，在（1，$\frac{3}{2}$）∪（$\frac{3}{2}$，+∞）上，g（a）＞0均恒成立，
從而g（-3）=c-1≤0，且g（$\frac{3}{2}$）=c-1≥0，故c=1；
此時(shí)，f（x）=x³+ax²+1-a=（x+1）[x²+（a-1）x+1-a]，
∵f（x）有3個(gè)零點(diǎn)，則x²+（a-1）x+1-a=0有2個(gè)異于-1的不等實(shí)根，
∴△=（a-1）²-4（1-a）=a²+2a-3＞0，
且（-1）²-（a-1）+1-a≠0，
解得：a∈$（-∞，-3）∪（1，\frac{3}{2}）∪（\frac{3}{2}，+∞）$，
綜上：c=1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值、極值問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題，考查分類(lèi)討論思想、轉(zhuǎn)化思想，是一道綜合題．