Question

14．已知曲線C₁的參數(shù)方程為$\left\{{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=\sqrt{3}sinθ}\end{array}}\right.$（其中θ為參數(shù)），以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C₂的極坐標方程為ρcosθ-ρsinθ+1=0．
（1）分別寫出曲線C₁與曲線C₂的普通方程；
（2）若曲線C₁與曲線C₂交于A，B兩點，求線段AB的長．

Answer 1

分析 （1）曲線C₁的參數(shù)方程為$\left\{{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=\sqrt{3}sinθ}\end{array}}\right.$（其中θ為參數(shù)），利用平方關系消去參數(shù)θ可得曲線C₁的普通方程．曲線C₂的極坐標方程為ρcosθ-ρsinθ+1=0，利用互化公式可得直角坐標方程．
（2）直線方程與橢圓聯(lián)立可得7x²+8x-8=0，利用一元二次方程的根與系數(shù)的關系、弦長公式即可得出．

解答 解：（1）曲線C₁的參數(shù)方程為$\left\{{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=\sqrt{3}sinθ}\end{array}}\right.$（其中θ為參數(shù)），消去參數(shù)θ可得：曲線${C_1}：\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$．
曲線C₂的極坐標方程為ρcosθ-ρsinθ+1=0，可得直角坐標方程：曲線C₂：x-y+1=0．
（2）聯(lián)立$\left\{{\begin{array}{l}{x-y+1=0}\\{\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1}\end{array}}\right.$，得7x²+8x-8=0，
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則${x_1}+{x_2}=-\frac{8}{7}$，${x_1}{x_2}=-\frac{8}{7}$，
于是$|AB|=\sqrt{1+1}|{x_1}-{x_2}|=\sqrt{2}\sqrt{（{x_1}+{x_2}）-4{x_1}{x_2}}=\frac{24}{7}$．
故線段AB的長為$\frac{24}{7}$．

點評 本題考查了極坐標方程化為直角坐標方程、參數(shù)方程化為普通方程、直線與橢圓相交弦長問題、一元二次方程的根與系數(shù)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．