Question

13．已知函數(shù)y=f（x）的定義域的R，當(dāng)x＜0時，f（x）＞1，且對任意的實(shí)數(shù)x，y∈R，等式f（x）f（y）=f（x+y）成立，若數(shù)列{a_n}滿足f（a_n+1）f（$\frac{1}{1+a_n}$）=1（n∈N^*），且a₁=f（0），則下列結(jié)論成立的是（　�。�

• A． f（a₂₀₁₃）＞f（a₂₀₁₆）
• B． f（a₂₀₁₄）＞f（a₂₀₁₇）
• C． f（a₂₀₁₆）＜f（a₂₀₁₅）
• D． f（a₂₀₁₃）＞f（a₂₀₁₅）

Answer 1

分析 利用恒等式和賦值法求f（0）的值，由恒等式化簡f（a_n+1）f（$\frac{1}{1+a_n}$）=1，得到數(shù)列的遞推公式，依次求出a₂、a₃、a₄，判斷數(shù)列{a_n}是周期數(shù)列，再由周期性求出a₂₀₁₃、a₂₀₁₄、a₂₀₁₅、a₂₀₁₆、a₂₀₁₇，即可比較大小，選出答案項(xiàng)．

解答 解：∵對任意的實(shí)數(shù)x，y∈R，f（x）•f（y）=f（x+y）恒成立，
∴令x=-1，y=0，則f（-1）•f（0）=f（-1），
∵當(dāng)x＜0時，f（x）＞1，∴f（-1）≠0，則f（0）=1，
∵f（a_n+1）f（$\frac{1}{1+{a}_{n}}$）=1=f（0），
∴f（a_n+1+$\frac{1}{1+{a}_{n}}$）=f（0）=a₁，則a_n+1+$\frac{1}{1+{a}_{n}}$=0，
即a_n+1=-$\frac{1}{1+{a}_{n}}$，且a₁=1，
當(dāng)n=1時，a₂=-$\frac{1}{2}$；當(dāng)n=2時，a₃=-2；當(dāng)n=3時，a₄=1，
∴數(shù)列{a_n}是以3為周期的周期數(shù)列，
∴a₂₀₁₃=a₃=-2，a₂₀₁₄=a₁=1，a₂₀₁₅=a₂=-$\frac{1}{2}$，
a₂₀₁₆=a₃=-2，a₂₀₁₇=a₁=1，
故選：C．

點(diǎn)評 本題考查數(shù)列與函數(shù)的綜合運(yùn)用，以及數(shù)列的周期性，一般采用賦值法，根據(jù)恒等式求出數(shù)列的遞推公式是解決本題的關(guān)鍵．