Question

18．已知數(shù)列{a_n}滿足3（n+1）a_n=na_n+1（n∈N^*），且a₁=3，
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）求數(shù)列{a_n}的前n項和S_n；
（3）若$\frac{a_n}{b_n}$=$\frac{2n+3}{n+1}$，求證：$\frac{5}{6}$≤$\frac{1}{b_1}$+$\frac{1}{b_2}$+…+$\frac{1}{b_n}$＜1．

Answer 1

分析 （1）數(shù)列{a_n}滿足3（n+1）a_n=na_n+1（n∈N^*），且a₁=3，可得$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=$\frac{3（n+1）}{n}$，利用“累乘求積”方法即可得出．
（2）利用“錯位相減法”與等比數(shù)列的求和公式即可得出．
（3）$\frac{a_n}{b_n}$=$\frac{2n+3}{n+1}$，可得$\frac{1}{_{n}}$=$\frac{2n+3}{n+1}×\frac{1}{n×{3}^{n}}$=$\frac{3（n+1）-n}{n（n+1）•{3}^{n}}$=$\frac{1}{n•{3}^{n-1}}$-$\frac{1}{（n+1）×{3}^{n}}$．利用“裂項求和方法”與數(shù)列的單調(diào)性即可得出．

解答 （1）解：∵數(shù)列{a_n}滿足3（n+1）a_n=na_n+1（n∈N^*），且a₁=3，∴$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=$\frac{3（n+1）}{n}$，
∴a_n=$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$$•\frac{{a}_{n-1}}{{a}_{n-2}}$•…•$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}•{a}_{1}$=3^n-1•$\frac{n}{n-1}•\frac{n-1}{n-2}•$…$•\frac{3}{2}$•$\frac{2}{1}$×3=n•3ⁿ．
（2）解：數(shù)列{a_n}的前n項和S_n=3+2×3²+3×3³+…+n•3ⁿ，
3S_n=3²+2×3³+…+（n-1）•3ⁿ+n•3ⁿ⁺¹，
∴-2S_n=3+3²+…+3ⁿ-n•3ⁿ⁺¹=$\frac{3（{3}^{n}-1）}{3-1}$-n•3ⁿ⁺¹，
∴S_n=$\frac{2n-1}{4}$×3ⁿ⁺¹+$\frac{3}{4}$．
（3）證明：$\frac{a_n}{b_n}$=$\frac{2n+3}{n+1}$，∴$\frac{1}{_{n}}$=$\frac{2n+3}{n+1}×\frac{1}{n×{3}^{n}}$=$\frac{3（n+1）-n}{n（n+1）•{3}^{n}}$=$\frac{1}{n•{3}^{n-1}}$-$\frac{1}{（n+1）×{3}^{n}}$．
∴$\frac{1}{b_1}$+$\frac{1}{b_2}$+…+$\frac{1}{b_n}$=
$（1-\frac{1}{2×3}）$+$（\frac{1}{2×3}-\frac{1}{3×{3}^{2}}）$+…+$（\frac{1}{n•{3}^{n-1}}-\frac{1}{（n+1）•{3}^{n}}）$=1-$\frac{1}{（n+1）•{3}^{n}}$∈$[\frac{5}{6}，1）$．
∴$\frac{5}{6}$≤$\frac{1}{b_1}$+$\frac{1}{b_2}$+…+$\frac{1}{b_n}$＜1．

點評 本題考查了“累乘求積”方法、“錯位相減法”、等比數(shù)列的求和公式、“裂項求和方法”與數(shù)列的單調(diào)性，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．