Question

如圖，圓錐頂點(diǎn)為P，底面圓心為O，其母線與底面所成的角為22.5°，AB和CD是底面圓O上的兩條平行的弦，軸OP與平面PCD所成的角為60°.

(1)證明：平面PAB與平面PCD的交線平行于底面；

(2)求cos∠COD.

 

Answer 1

（1）見解析 （2）17－12

【解析】(1)證明 設(shè)平面PAB與平面PCD的交線為l.

因?yàn)锳B∥CD，AB不在平面PCD內(nèi)，所以AB∥平面PCD.

又因?yàn)锳B?平面PAB，平面PAB與平面PCD的交線為l，所以AB∥l.

由直線AB在底面上而l在底面外可知，l與底面平行．

(2)設(shè)CD的中點(diǎn)為F，連接OF，PF.

由圓的性質(zhì)，知∠COD＝2∠COF，OF⊥CD.

因?yàn)镺P⊥底面，CD?底面，所以O(shè)P⊥CD.

又OP∩OF＝O，故CD⊥平面OPF.

又CD?平面PCD，因此平面OPF⊥平面PCD，從而直線OP在平面PCD上的射影為直線PF，故∠OPF為OP與平面PCD所成的角．由題設(shè)，∠OPF＝60°.

設(shè)OP＝h，則OF＝OP·tan∠OPF＝h·tan 60°＝h.

根據(jù)題設(shè)有∠OCP＝22.5°，得

OC＝＝.

由1＝tan 45°＝和tan 22.5°＞0，

可解得tan 22.5°＝－1，

因此OC＝＝(＋1)h.

在Rt△OCF中，cos∠COF＝＝＝－，

故cos∠COD＝cos(2∠COF)＝2cos2∠COF－1＝2(－)2－1＝17－12.