Question

已知函數(shù)f(x)＝x2－2acos kπ·ln x(k∈N*，a∈R，且a>0)．

(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；

(2)若k＝2 04，關(guān)于x的方程f(x)＝2ax有唯一解，求a的值．

 

Answer 1

（1）當(dāng)k是奇數(shù)時(shí)，f′(x)>0，則f(x)在(0，＋∞)上是增函數(shù)；

當(dāng)k是偶數(shù)時(shí)，f(x)在(0，)上是單調(diào)減函數(shù)，在(，＋∞)上是單調(diào)增函數(shù)．

（2）

【解析】【解析】
(1)由已知得x>0

且f′(x)＝2x－(－1)k·.

當(dāng)k是奇數(shù)時(shí)，f′(x)>0，

則f(x)在(0，＋∞)上是增函數(shù)；

當(dāng)k是偶數(shù)時(shí)，

則f′(x)＝2x－＝.

所以當(dāng)x∈(0，)時(shí)，f′(x)<0；

當(dāng)x∈(，＋∞)時(shí)，f′(x)>0.

故當(dāng)k是偶數(shù)時(shí)，f(x)在(0，)上是單調(diào)減函數(shù)，在(，＋∞)上是單調(diào)增函數(shù)．

(2)若k＝2 014，

則f(x)＝x2－2aln x(k∈N*)．

記g(x)＝f(x)－2ax＝x2－2aln x－2ax，

則g′(x)＝2x－－2a＝(x2－ax－a)．

則方程f(x)＝2ax有唯一解，即g(x)＝0有唯一解．

令g′(x)＝0，得x2－ax－a＝0.

因?yàn)閍>0，x>0，

所以x1＝<0(舍去)，

x2＝.

當(dāng)x∈(0，x2)時(shí)，g′(x)<0，g(x)在(0，x2)上是單調(diào)減函數(shù)；當(dāng)x∈(x2，＋∞)時(shí)，g′(x)>0，g(x)在(x2，＋∞)上是單調(diào)增函數(shù)．

當(dāng)x＝x2時(shí)，g′(x2)＝0，g(x)min＝g(x2)．

因?yàn)間(x)＝0有唯一解，所以g(x2)＝0.則

，即

兩式相減得2aln x2＋ax2－a＝0，

因?yàn)閍>0，所以2ln x2＋x2－1＝0.(*)

設(shè)函數(shù)h(x)＝2lnx＋x－1.

因?yàn)楫?dāng)x>0時(shí)，h(x)是增函數(shù)，所以h(x)＝0至多有一個(gè)解．

因?yàn)閔(1)＝0，所以方程(*)的解為x2＝1.

從而解得a＝.