Question

（Ⅰ）求(

x

3

+

3

x

)9的展開式常數項及中間兩項；
（Ⅱ）已知(

x

+

2

x2

)n的展開式中，第5項的系數與第3項的系數之比是56：3，求n．

Answer 1

考點：二項式系數的性質

專題：二項式定理

分析：（Ⅰ）在二項展開式的通項公式中，令x的冪指數等于0，求出r的值，即可求得常數項．再根據展開式共有10項，可得中間2項．
（Ⅱ）根據(

x

+

2

x2

)n的展開式的通項公式可得第5項的系數與第3項的系數之比是

C 4 n •24

C 2 n •22

=

56

3

，由此求得n的值．

解答： 解：（Ⅰ）(

x

3

+

3

x

)9的展開式的通項公式為 T_r+1=

C

r 9

•3^2r-9•x9-

3r

2

，
令9-

3r

2

=0，求得r=6，可得展開式的常數項為

C

6 9

•2³=672．
由于展開式共有10項，故中間兩項分別為第5項和第6項，即r=4或r=5，
即中間兩項為T₅=

C

4 9

•

1

3

•X³=56x³，T₆=

C

5 9

•3•x

3

2

=441x

3

2

．
（Ⅱ）已知(

x

+

2

x2

)n的展開式的通項公式為 T_r+1=

C

r n

•2^r•x

n-5r

2

，
第5項的系數與第3項的系數之比是

C 4 n •24

C 2 n •22

=

56

3

，求得n=10．

點評：本題主要考查二項式定理的應用，二項展開式的通項公式，求展開式中某項的系數，二項式系數的性質，屬于基礎題．