Question

15．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且2S_n=3a_n-2n．
（I）證明：數(shù)列{a_n+1}為等比數(shù)列；
（2）求數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和．

Answer 1

分析 （1）求出n=1時(shí)，a₁=2；將n換為n-1相減可得a_n=3a_n-1+2，兩邊加1，由等比數(shù)列的定義即可得證；
（2）運(yùn)用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式，由數(shù)列的求和方法：分組求和，即可得到所求和．

解答 解：（1）證明：當(dāng)n=1時(shí)，2S₁=3a₁-2，
a₁=S₁，可得a₁=2；
當(dāng)n＞1時(shí)，由2S_n=3a_n-2n，可得：
2S_n-1=3a_n-1-2（n-1）．
相減可得2a_n=3a_n-3a_n-1-2，
即a_n=3a_n-1+2，
可得a_n+1=3（a_n-1+1），
即有數(shù)列{a_n+1}為首項(xiàng)為3，公比為3的等比數(shù)列；
（2）由（1）可得a_n+1=3ⁿ，
數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為（3+3²+…+3ⁿ）-n
=$\frac{3（1-{3}^{n}）}{1-3}$-n=$\frac{{3}^{n+1}-3}{2}$-n．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法和求和的方法：分組求和，考查等比數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式和求和公式的運(yùn)用，屬于中檔題．