Question

20．已知函數(shù)f（x）=-x³+3x．
（1）①求證：函數(shù)f（x）在區(qū)間（-1，1]上是單調(diào)增函數(shù)；
②當(dāng)a在何范圍內(nèi)取值時，關(guān)于x的方程f（x）=a在x∈（-1，1]上有解？
（2）用二分法求方程f（x）=1在區(qū)間（-1，1）上的近似解．（精確到0.1）

Answer 1

分析 （1）①通過求導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)符號便可證明函數(shù)f（x）在區(qū)間（-1，1]上是單調(diào)增函數(shù)；
②根據(jù)f（x）在（-1，1]上的單調(diào)性便可求出f（x）在（-1，1]上的值域，從而得出a的取值范圍；
（2）可由方程f（x）=1得到方程f（x）-1=0，可設(shè)g（x）=f（x）-1，這樣根據(jù)二分法求函數(shù)零點(diǎn)近似值的過程即可求出函數(shù)g（x）的零點(diǎn)的近似值，從而得出方程g（x）=0的近似解．

解答 解：（1）①證明：f′（x）=3（1-x²）；
∵x∈（-1，1]；
∴1-x²≥0；
∴f′（x）≥0；
∴f（x）在（-1，1]上是單調(diào)增函數(shù)；
②∵f（x）在（-1，1]上單調(diào)遞增；
∴f（-1）＜f（x）≤f（1）；
即-2＜f（x）≤2；
∴-2＜a≤2；
∴a的取值范圍為（-2，2]；
（2）由f（x）=1得，f（x）-1=0；
設(shè)g（x）=f（x）-1，且g（0）=-1，g（1）=1，g（0）g（1）＜0；
∴g（x）在（0，1）內(nèi)有零點(diǎn)x₀；
取區(qū)間（0，1）的中點(diǎn)x₁=0.5，g（0.5）≈0.38，g（0）g（0.5）＜0；
∴x₀∈（0，0.5）；
再取區(qū)間（0，0.5）的中點(diǎn)x₂=0.25，g（0.25）≈-0.27，g（0.25）g（0.5）＜0；
∴x₀∈（0.25，0.5）；
同理可得，x₀∈（0.25，0.3725），x₀∈（0.31125，0.3725）；
∵|0.31125-0.3725|=0.06125＜0.1；
∴原方程的近似解可取為0.3725．

點(diǎn)評 考查根據(jù)函數(shù)導(dǎo)數(shù)符號證明函數(shù)單調(diào)性的方法，以及根據(jù)函數(shù)單調(diào)性求函數(shù)值域的方法，知道方程f（x）=a有解的充要條件：a的取值范圍和函數(shù)f（x）的值域相同，以及二分法求方程近似解的方法和過程．