已知函數(shù)是定義在
上的奇函數(shù),當
時,有
(其中
為自然對數(shù)的底,
).
(1)求函數(shù)的解析式;
(2)設(shè),
,求證:當
時,
;
(3)試問:是否存在實數(shù),使得當
時,
的最小值是3?如果存在,求出實數(shù)
的值;如果不存在,請說明理由.
(1)
(2)構(gòu)造函數(shù)利用函數(shù)的最小值大于另一個函數(shù)的最大值來證明成立。
(3)當時,函數(shù)
在區(qū)間
上的最小值是3
解析試題分析:解:(1)當時,
,
則,
又是奇函數(shù),
所以,
因此,; 4分
(2)證明:令,
當時,注意到
,所以
5分
① 當時,注意到
,有
; 6分
② 當時,
, 7分
故函數(shù)在
上是增函數(shù),從而有
,
所以當時,有
, 8分
又因為是偶函數(shù),故當
時,同樣有
,即
,
綜上所述,當時,有
; 9分
(2)證法二:當時,
,
求導得,令
得
, 5分
于是可得當時,
;
時,
,
所以在
處取得最大值
,所以
. 6分
又記,當
時,有
, 7分
求導得,當
時,
,
所以在
上單調(diào)遞增,于是
,
所以,在在上總有
. 8分
注意到和
的偶函數(shù)性質(zhì),
所以當時,有
(
); 9分
(3)當時,
,
求導得,令
得
, 10分
① 當時,
,
在區(qū)間
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
某企業(yè)生產(chǎn)A,B兩種產(chǎn)品,根據(jù)市場調(diào)查與預測,A產(chǎn)品的利潤與投資成正比,其關(guān)系如圖1;B產(chǎn)品的利潤與投資的算術(shù)平方根成正比,其關(guān)系如圖2(注:利潤和投資單位:萬元).
(1)分別將A、B兩種產(chǎn)品的利潤表示為投資的函數(shù)關(guān)系式;
(2)已知該企業(yè)已籌集到18萬元資金,并將全部投入A,B兩種產(chǎn)品的生產(chǎn).
①若平均投入生產(chǎn)兩種產(chǎn)品,可獲得多少利潤?
②問:如果你是廠長,怎樣分配這18萬元投資,才能使該企業(yè)獲得最大利潤?其最大利潤約為多少萬元?
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
如圖,一水渠的橫斷面是拋物線形,O是拋物線的頂點,口寬EF=4米,高3米建立適當?shù)闹苯亲鴺讼�,求拋物線方程.
現(xiàn)將水渠橫斷面改造成等腰梯形ABCD,要求高度不變,只挖土,不填土,求梯形ABCD的下底AB多大時,所挖的土最少?
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
在某服裝批發(fā)市場,某種品牌的時裝當季節(jié)將來臨時,價格呈上升趨勢,設(shè)這種時裝開始時定價為20元,并且每周(7天)漲價2元,從第6周開始保持30元的價格平穩(wěn)銷售;從第12周開始,當季節(jié)即將過去時,平均每周減價2元,直到第16周周末,該服裝不再銷售。
⑴試建立銷售價y與周次x之間的函數(shù)關(guān)系式;
⑵若這種時裝每件進價Z與周次次之間的關(guān)系為Z=
,1≤
≤16,且
為整數(shù),試問該服裝第幾周出售時,每件銷售利潤最大?最大利潤為多少?
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
某商場銷售某種商品的經(jīng)驗表明,該商品每日的銷售量y (單位:千克)與銷售價格 (單位:元/千克)滿足關(guān)系式y=
+10(x-6)2,其中3<x<6,a為常數(shù).已知銷售價格為5元/千克時,每日可售出該商品11千克.
(1)求a的值;
(2)若該商品的成品為3元/千克, 試確定銷售價格x的值, 使商場每日銷售該商品所獲得的利潤最大.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
(本題滿分12分)
為了預防流感,某學校對教室用藥熏消毒法進行消毒. 已知藥物釋放過程中,室內(nèi)每立方米空氣中的含藥量y(毫克)與時間t(小時)成正比;藥物釋放完畢后,y與t的函數(shù)關(guān)系式為(a為常數(shù)),
如圖所示,根據(jù)圖中提供的信息,回答下列問題:
(Ⅰ)從藥物釋放開始,求每立方米空氣中的含藥量
y(毫克)與時間t(小時)之間的函數(shù)關(guān)系式?
(Ⅱ)據(jù)測定,當空氣中每立方米的含藥量降低到0.25毫克以下時,學生方可進教室,那從藥物釋放開始,至少需要經(jīng)過多少小時后,學生才能回到教室.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
(10分)為了預防流感,某學校對教室用藥熏消毒法進行消毒。已知藥物釋放過程中,室內(nèi)每立方米空氣中的含藥量y(毫克)與時間t(小時)成正比;藥物釋放完畢后,y與t的函數(shù)關(guān)系式為,如圖所示。
(1)請寫出從藥物釋放開始,每立方米空氣中的含藥量y(毫克)與時間t(小時)之間的函數(shù)關(guān)系式;
(2)據(jù)測定,當空氣中每立方米的含藥量降低到0.25毫克以下時,學生方可進教室。那么,從藥物釋放開始,至少需要經(jīng)過多少小時后,學生才能回到教室。
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