Question

某商場(chǎng)銷(xiāo)售某種商品的經(jīng)驗(yàn)表明，該商品每日的銷(xiāo)售量y (單位：千克)與銷(xiāo)售價(jià)格 (單位：元/千克)滿(mǎn)足關(guān)系式y＝＋10(x－6)²，其中3＜x＜6，a為常數(shù)．已知銷(xiāo)售價(jià)格為5元/千克時(shí)，每日可售出該商品11千克．
（1）求a的值；
（2）若該商品的成品為3元/千克, 試確定銷(xiāo)售價(jià)格x的值, 使商場(chǎng)每日銷(xiāo)售該商品所獲得的利潤(rùn)最大．

Answer 1

(1) a＝2 (2) 當(dāng)銷(xiāo)售價(jià)格x＝4時(shí)，商場(chǎng)每日銷(xiāo)售該商品所獲得的利潤(rùn)最大，最大值為42.

解析試題分析：解：（1）由題設(shè)知x＝5時(shí)y＝11，則11＝＋10(5－6)²，解得a＝2. 3分
（2）由（1）知該商品每日的銷(xiāo)售量y＝＋10(x－6) ²，所以商場(chǎng)每日銷(xiāo)售該商品所獲得的利潤(rùn)為
f(x)＝(x－3) [＋10(x－6) ²]＝2＋10(x－3) (x－6) ²，3＜x＜6.       6分
對(duì)函數(shù)f(x)求導(dǎo)，得f ′(x)＝10[(x－6) ²＋2(x－3)(x－6)]＝30(x－4)(x－6)．
令f ′(x)＝0及3＜x＜6，解得x＝4．                                 10分
當(dāng)3＜x＜4時(shí)，f ′(x)＞0，當(dāng)4＜x＜6時(shí)，f ′(x)＜0，于是有函數(shù)f(x)在(3，4)上遞增，在(4，6)上遞減，所以當(dāng)x＝4時(shí)函數(shù)f(x)取得最大值f(4)＝42.             13分
答：當(dāng)銷(xiāo)售價(jià)格x＝4時(shí)，商場(chǎng)每日銷(xiāo)售該商品所獲得的利潤(rùn)最大，最大值為42.
考點(diǎn)：函數(shù)的模型的運(yùn)用
點(diǎn)評(píng)：解決的關(guān)鍵是對(duì)于已知中的利潤(rùn)函數(shù)的 準(zhǔn)確表示，然后借助于導(dǎo)數(shù)的知識(shí)來(lái)得到最值，屬于基礎(chǔ)題。