Question

18．徐州、蘇州兩地相距500千米，一輛貨車從徐州勻速行駛到蘇州，規(guī)定速度不得超過100千米/小時．已知貨車每小時的運輸成本（以元為單位）由可變部分和固定部分組成：可變部分與速度v（千米/時）的平方成正比，比例系數(shù)為0.01；固定部分為100元．
（1）把全程運輸成本y（元）表示為速度v（千米/時）的函數(shù)，并指出這個函數(shù)的定義域；
（2）為了使全程運輸成本最小，汽車應(yīng)以多大速度行駛？

Answer 1

分析 （1）求出汽車從甲地勻速行駛到乙地所用時間，根據(jù)貨車每小時的運輸成本（以元為單位）由可變部分和固定部分組成，可得全程運輸成本，及函數(shù)的定義域；
（2）利用基本不等式a+b≥2$\sqrt{ab}$，（a=b時取得等號），可得v=100千米/時，全程運輸成本最小．

解答 解：（1）依題意知汽車從甲地勻速行駛到乙地所用時間為$\frac{500}{v}$，
全程運輸成本為y=100×$\frac{500}{v}$+0.01v²×$\frac{500}{v}$=$\frac{50000}{v}$+5v，
故所求函數(shù)及其定義域為y=$\frac{50000}{v}$+5v，v∈（0，100]；
（2）依題意知v∈（0，100]，
故有$\frac{50000}{v}$+5v≥2$\sqrt{\frac{50000}{v}•5v}$=1000，
當(dāng)且僅當(dāng)$\frac{50000}{v}$=5v，即v=100時，等號成立．
故當(dāng)v=100千米/時，全程運輸成本最小．

點評 本題考查函數(shù)模型的構(gòu)建，考查基本不等式的運用，解題的關(guān)鍵是構(gòu)建函數(shù)模型，利用基本不等式求最值．