Question

3．某商場銷售一種商品，已知該商品每件成本為6元，若每件售價(jià)為x元（x＞6），則年銷售量W（萬件）與每件售價(jià)x（元）之間滿足關(guān)系式：W=kx²+21x+18，且當(dāng)每件售價(jià)為10元時(shí)，年銷售量為28萬件．
（Ⅰ）試確定k的值，并求該商場的年利潤f（x）關(guān)于售價(jià)x的函數(shù)關(guān)系式；
（Ⅱ）試確定售價(jià)x的值，使年利潤f（x）最大，并求出最大年利潤．

Answer 1

分析 （Ⅰ）代入x=10，W=28，解得k=-2，可得W的解析式，進(jìn)而得到f（x）的解析式f（x）=-2x³+33x²-108x-108（x＞6）； 
（Ⅱ）求得f（x）的導(dǎo)數(shù)，可得單調(diào)區(qū)間和極值、最值，即有x=9可得最大值．

解答 解：（Ⅰ）當(dāng)x=10時(shí)，W=28，
W=100k+210+18=28，
求得k=-2，…（2分）
∴W=-2x²+21x+18，
∴y=（-2x²+21x+18）（x-6），
即y=f（x）=-2x³+33x²-108x-108（x＞6）； …（6分）
（Ⅱ）∵f′（x）=-6x²+66x-108=-6（x-2）（x-9），…（8分）
∵x＞6，∴當(dāng)6＜x＜9時(shí)，f'（x）＞0；當(dāng)x＞9時(shí)，f'（x）＜0；
∴函數(shù)f（x）在（6，9）上遞增，在（9，+∞）上遞減，…（10分）
∴當(dāng)x=9時(shí)，y_max=135，…（11分）
答：當(dāng)售價(jià)為9元時(shí)，年利潤最大，最大年利潤為135萬元．   …（12分）

點(diǎn)評 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求最值，考查化簡整理的運(yùn)算能力，正確列出函數(shù)的解析式和求出導(dǎo)數(shù)是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題．