Question

10．在平面直角坐標系xOy中，已知圓C：x²+y²-（6-2m）x-4my+5m²-6m=0，直線l經過點（1，-1），若對任意的實數m，直線l被圓C截得的弦長都是定值，則直線l的方程為2x+y-1=0．

Answer 1

分析 先將圓的方程化為標準式，求出圓心和半徑，通過分析可以看出，圓心在一條直線m上，半徑是定值3，所以直線l∥m，才能滿足截得的弦長是定值．

解答 解：將圓C：x²+y²-（6-2m）x-4my+5m²-6m=0化為標準式得
[x-（3-m）]²+（y-2m）²=9，
∴圓心C（3-m，2m），半徑r=3，
令$\left\{\begin{array}{l}{x=3-m}\\{y=2m}\end{array}\right.$，消去m得2x+y-6=0，
所以圓心在直線2x+y-6=0上，
又∵直線l經過點（1，-1），
若對任意的實數m，直線l被圓C截得的弦長都是定值，
∴直線l與圓心所在直線平行，
∴設l方程為2x+y+C=0，將（1，-1）代入得C=-1，
∴直線l的方程為2x+y-1=0．
故答案為：2x+y-1=0．

點評 有關直線與圓的位置關系的問題，一般采用幾何法，即先求出圓心與半徑，然后畫出圖象，利用點到圓心的距離，半徑，弦長等的關系解決問題．