Question

10．在平面直角坐標系xOy中，以原點O為極點，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標系，圓C₁的極坐標方程是ρ²+2ρcosθ=0，圓C₂的參數(shù)方程是$\left\{\begin{array}{l}{x=cosα}\\{y=-1+sinα}\end{array}\right.$（α是參數(shù)）．
（1）求圓C₁和圓C₂的交點的極坐標；
（2）若直線l經(jīng)過圓C₁和圓C₂的一個交點，且垂直于公共弦，求直線l的極坐標方程．

Answer 1

分析 （1）把參數(shù)方程、極坐標方程分別化為直角坐標方程，聯(lián)立解出交點坐標，再化為極坐標即可得出．
（2）由（1）可得公共弦所在的直線方程為：y=x．可得直線l的斜率為-1．利用點斜式可得直角坐標方程，再化為極坐標方程．

解答 解：（1）圓C₁的極坐標方程是ρ²+2ρcosθ=0，化為直角坐標方程：x²+y²+2x=0，
圓C₂的參數(shù)方程是$\left\{\begin{array}{l}{x=cosα}\\{y=-1+sinα}\end{array}\right.$（α是參數(shù)），消去參數(shù)可得：x²+（y+1）²=1，即：x²+y²+2y=0，
相減可得：x=y，代入x²+y²+2x=0，可得x²+x=0，解得x=0，-1．
∴圓C₁和圓C₂的交點為（0，0），（-1，-1）．
分別化為極坐標：（0，0），（$\sqrt{2}$，$\frac{5π}{4}$）．
（2）由（1）可得公共弦所在的直線方程為：y=x．
∴直線l的斜率為-1．
直線l經(jīng)過交點（0，0）時，直線l的方程為：y=-x，可得極坐標：θ=$\frac{3π}{4}$（ρ∈R）．
直線l經(jīng)過交點（-1，-1）時，直線l的方程為：y+1=-（x+1），
即x+y+2=0，可得極坐標：ρcosθ+ρsinθ+2=0．

點評 本題考查了極坐標化為直角坐標方程、參數(shù)方程化為普通方程、點斜式、相互垂直的直線斜率之間的關系、曲線的交點，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．