Question

9．如圖在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC⊥BC，AC=BC=CC₁=2，D是A₁B₁的中點，側棱CC₁⊥底面ABC
（1）求異面直線CB₁與AC₁所成角；
（2）求平面ADC₁與平面ABC所成二面角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）以C為原點，CB為x軸，CC₁為y軸，CA為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出異面直線CB₁與AC₁所成角．
（2）求出平面ADC₁的法向量和平面ABC的法向量，由此能求出平面ADC₁與平面ABC所成二面角的余弦值．

解答 解：（1）∵在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC⊥BC，
AC=BC=CC₁=2，D是A₁B₁的中點，側棱CC₁⊥底面ABC，
∴以C為原點，CB為x軸，CC₁為y軸，CA為z軸，建立空間直角坐標系，
C（0，0，0），B₁（2，2，0），A（0，0，2），C₁（0，2，0），
$\overrightarrow{C{B}_{1}}$=（2，2，0），$\overrightarrow{A{C}_{1}}$=（0，2，-2），
設異面直線CB₁與AC₁所成角為θ，
則cosθ=$\frac{|\overrightarrow{C{B}_{1}}•\overrightarrow{A{C}_{1}}|}{|\overrightarrow{C{B}_{1}}|•|\overrightarrow{A{C}_{1}}|}$=$\frac{4}{\sqrt{8}•\sqrt{8}}$=$\frac{1}{2}$，
∴θ=60°，
∴異面直線CB₁與AC₁所成角為$\frac{1}{2}$．
（2）A（0，0，2），B₁（2，2，0），A₁（0，2，2），C₁（0，2，0），D（1，2，1），
$\overrightarrow{A{C}_{1}}$=（0，2，-2），$\overrightarrow{AD}$=（1，2，-1），
設平面ADC₁的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{A{C}_{1}}•\overrightarrow{n}=2y-2z=0}\\{\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{n}=x+2y-z=0}\end{array}\right.$，取y=1，得$\overrightarrow{n}$=（-1，1，1），
平面ABC的法向量$\overrightarrow{m}$=（0，0，1），
設平面ADC₁與平面ABC所成二面角的平面角為θ，
則cosθ=$\frac{|\overrightarrow{n}•\overrightarrow{m}|}{|\overrightarrow{n}|•|\overrightarrow{m}|}$=$\frac{1}{\sqrt{3}•\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{6}}{6}$．
∴平面ADC₁與平面ABC所成二面角的余弦值為$\frac{\sqrt{6}}{6}$．

點評 本題考查異面直線所成角的求法，考查二面角的余弦值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．