Question

13．已知函數(shù)f（x）=|2x-a|+a．
（1）當(dāng)a=1時(shí)，求不等式f（x）≤6的解集；
（2）在（1）的條件下，若存在實(shí)數(shù)n使f（n）≤m-f（-n）成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=|2x-1|+1≤6，分2x-1≥0和2x-1＜0兩種情況進(jìn)行分類討論，能求出f（x）≤6的解集．
（2）f（x）=|2x-1|+1，令g（n）=f（n）+f（-n），利用分類討論思想能求出實(shí)數(shù)m的取值范圍．

解答 解：（1）當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=|2x-1|+1≤6，
當(dāng)2x-1≥0時(shí)，f（x）=2x-1+1≤6，
解得$\frac{1}{2}$≤x≤3；
當(dāng)2x-1＜0時(shí)，f（x）=1-2x+1≤6，
解得-2≤x＜$\frac{1}{2}$．
綜上，當(dāng)a=1時(shí)，不等式f（x）≤6的解集為{x|-2≤x≤3}．
（2）由（1）知f（x）=|2x-1|+1，
令g（n）=f（n）+f（-n），
則g（n）=|2n-1|+|2n+1|+2=$\left\{\begin{array}{l}{2-4n，n≤-\frac{1}{2}}\\{4，-\frac{1}{2}＜n≤\frac{1}{2}}\\{2+4n，n＞\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，
∴g（n）的最小值為4，
故實(shí)數(shù)m的取值范圍是[4，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查不等式的解集的求法，考查實(shí)數(shù)的取值范圍的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意分類討論思想的合理運(yùn)用．