Question

設(shè)等差數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，已知（a₄-1）³+2013（a₄-1）=1，（a₂₀₁₀-1）³+2013（a₂₀₁₀-1）=-1，則下列結(jié)論中正確的是（　�。�

• A、S₂₀₁₃=2013，a₂₀₁₀＜a₄
• B、S₂₀₁₃=2013，a₂₀₁₀＞a₄
• C、S₂₀₁₃=2012，a₂₀₁₀≤a₄
• D、S₂₀₁₃=2012，a₂₀₁₀≥a₄

Answer 1

考點：等差數(shù)列的性質(zhì)

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：由題意構(gòu)造函數(shù)f（x）=x³+2013x，求出f′（x），判斷出函數(shù)f（x）為單調(diào)遞增函數(shù)且為奇函數(shù)，由已知的兩等式得到f（a₄-1）=1及f（a₂₀₁₀-1）=-1，由f（x）為奇函數(shù)得到f（1-a₂₀₁₀）=1，由函數(shù)的單調(diào)性得到a₄-1與1-a₂₀₁₀相等即a₄+a₂₀₁₀=2，然后根據(jù)等差數(shù)列的前n項和的公式表示出S₂₀₁₃，根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)化簡后，將a₄+a₂₀₁₀=2代入即可求出值，再根據(jù)單調(diào)性判斷出a₄＞a₂₀₁₀．

解答： 解：令f（x）=x³+2013x，則f′（x）=3x²+2013＞0，
得到f（x）在R上單調(diào)遞增，且f（x）為奇函數(shù)．
由條件，有f（a₄-1）=1，f（a₂₀₁₀-1）=-1，即f（1-a₂₀₁₀）=1．
∴a₄-1=1-a₂₀₁₀，從而a₄+a₂₀₁₀=2，
則S2013=

2013(a1+a2013)

2

=

2013(a4+a2010)

2

=2013，
∵f（a₄-1）=1，f（a₂₀₁₀-1）=-1，f（x）在R上單調(diào)遞增，
∴a₄-1＞a₂₀₁₀-1，即a₄＞a₂₀₁₀，
故選：A．

點評：本題考查靈活運用等差數(shù)列的性質(zhì)及前n項和的公式化簡求值，函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，考查了構(gòu)造函數(shù)、利用函數(shù)思想解決實際問題的能力，是一道中檔題．