Question

（12分）設(shè)各項均為正數(shù)的數(shù)列的前項和為，滿足

且構(gòu)成等比數(shù)列．

（Ⅰ）證明：；

（Ⅱ）求數(shù)列的通項公式；

（Ⅲ）證明：對一切正整數(shù)，有．

 

Answer 1

（Ⅰ）詳見解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）詳見解析.

【解析】

試題分析：（Ⅰ）對于，令即可證明；（Ⅱ）由已知所給的遞推式含有，考慮用公式，得到和的遞推式，構(gòu)造等差數(shù)列，進而求出數(shù)列的通項；（Ⅲ）因為是一個分式，常通過裂項相消法逐項相消，然后再通過放縮，得出結(jié)論.

試題解析：（Ⅰ）證明：由，得，即，

所以.因為，所以；

（Ⅱ）【解析】
（1）

當(dāng)時， （2）

由（1）-（2）得，即

，，即，（下面需驗證時的情況）

成等比數(shù)列，所以，即，解得

又由（1）知，，，

綜上知（）；

數(shù)列是一個首項為1，公差為2的等差數(shù)列．，

數(shù)列的通項公式為；

（Ⅲ）證明：由（2）知，

.

考點：數(shù)列的遞推公式、通項公式、；等比中項、等差數(shù)列的概念；裂項相消法求數(shù)列的前項和；放縮法證明不等式等知識.