Question

18．已知關(guān)于x的不等式2x-1＞m（x²-1）．
（1）是否存在實數(shù)m，使不等式對任意的x∈R恒成立？并說明理由．
（2）若對于m∈[-2，2]不等式恒成立，求實數(shù)x的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)得到關(guān)于m的不等式組，解出即可；
（2）設(shè)f（m）=（x²-1）m-（2x-1），由m∈[-2，2]時，f（m）＜0恒成立，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)得到f（2）＜0且f（-2）＜0，解不等式組求出x的范圍即可．

解答 解：（1）原不等式等價于mx²-2x+（1-m）＜0，
若對于任意x恒成立，
必須$\left\{\begin{array}{l}m＜0\\△＜0\end{array}\right.$，解得m∈∅，
所以不存在實數(shù)m，使不等式恒成立．
（2）設(shè)f（m）=（x²-1）m-（2x-1），
當(dāng)m∈[-2，2]時，f（m）＜0恒成立，
必須$\left\{\begin{array}{l}f（2）＜0\\ f（-2）＜0\end{array}\right.$即$\left\{\begin{array}{l}2{x^2}-2x-1＜0\\-2{x^2}-2x+3＜0\end{array}\right.$
∴x的范圍是$\left\{{x|\frac{{-1+\sqrt{7}}}{2}＜x＜\frac{{1+\sqrt{3}}}{2}}\right\}$．

點評 本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，考查函數(shù)恒成立問題，是一道中檔題．