Question

10．已知函數(shù)f（x）=ax，g（x）=lnx+3．
（1）當(dāng)a=1時(shí)，請(qǐng)用導(dǎo)數(shù)的定義求函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)；
（2）求函數(shù)g（x）在點(diǎn)（1，3）處的切線方程；
（3）若函數(shù)h（x）=f（x）-g（x）在x∈[e^-4，e]上的圖象與直線y=t（0≤t≤1）總有兩個(gè)不同交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義即可求出．
（2）求出函數(shù)在x=1處的導(dǎo)數(shù)，可得函數(shù)g（x）在點(diǎn)（1，3）處的切線方程；
（3）求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，分a≤0和a＞0討論，當(dāng)a＞0時(shí)由導(dǎo)函數(shù)在不同區(qū)間內(nèi)的符號(hào)得到原函數(shù)的單調(diào)性，從而求出函數(shù)在區(qū)間[e^-4，e]上的最小值點(diǎn)，由最小值小于0，且區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值大于等于0聯(lián)立不等式組求解a的取值范圍．

解答 解：（1）當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=x，
△y=（x+△x）+x=△x，
∴$\frac{△y}{△x}$=1，
∴f′（x）=$\underset{lim}{△x→0}$$\frac{△y}{△x}$=1；
（2）∵g（x）=lnx+3，
∴g′（x）=$\frac{1}{x}$，
∴g′（1）=1，
∴函數(shù)g（x）在點(diǎn)（1，3）處的切線方程為y-3=x-1，即y=x+2；
（Ⅱ）h（x）=f（x）-g（x）=ax-lnx-3，
∴h′（x）=a-$\frac{1}{x}$
當(dāng)a≤0時(shí)，在x∈[e^-4，e]上恒小于0，函數(shù)f（x）在[e^-4，e]上單調(diào)遞減，不滿足題意；
當(dāng)a＞0時(shí)，由h′（x）＜0，得e^-4＜x＜$\frac{1}{a}$，函數(shù)h（x）遞減，
由h′（x）＞0，得$\frac{1}{a}$＜x＜e，函數(shù)h（x）遞增，
∴函數(shù)h（x）在x∈[e^-4，e]上的圖象與直線y=t（0≤t≤1）恒有兩個(gè)不同交點(diǎn)，
則需$\left\{\begin{array}{l}{h（\frac{1}{a}）＜0}\\{h（e）≥1}\\{h（{e}^{-4}）≥0}\end{array}\right.$．即$\left\{\begin{array}{l}{1+lna-3＜0}\\{ae-1-3≥1}\\{a{e}^{-4}+4-3≥0}\end{array}\right.$，
解得$\frac{5}{e}$≤a＜e²，
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是[$\frac{5}{e}$，e²）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)處的切線方程，考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法及分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想方法，是中檔題．