Question

15．（1）設函數f（x）=$\sqrt{|{x+1}|+|{x-2}|-a}$的定義域為R，試求a的取值范圍；
（2）已知實數x，y，z滿足x+2y+3z=1，求x²+y²+z²的最小值．

Answer 1

分析 （1）利用絕對值不等式的性質可得：|x+1|+|x-2|≥|x+1-（x-2）|=3，即可得出；
（2）利用柯西不等式的性質即可得出．

解答 解：（1）由題設知，當x∈R時，恒有|x+1|+|x-2|-a≥0，
即|x+1|+|x-2|≥a，又|x+1|+|x-2|≥|x+1-（x-2）|=3，
∴a≤3．
（2）由柯西不等式（x²+y²+z²）（1²+2²+3²）≥（x+2y+3z）²=1，
∴x²+y²+z²≥$\frac{1}{14}$，
當且僅當$\frac{x}{1}=\frac{y}{2}=\frac{z}{3}$時，即x=$\frac{1}{14}$，y=$\frac{1}{7}$，z=$\frac{3}{14}$時，
x²+y²+z²的最小值為$\frac{1}{14}$．

點評 本題考查了絕對值不等式的性質、柯西不等式的性質，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．