Question

6．已知直線MN過橢圓$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$的左焦點F，與橢圓交于M，N兩點．直線PQ過原點O與MN平行，且PQ與橢圓交于P，Q兩點，則$\frac{{|PQ{|^2}}}{|MN|}$=$2\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 求得橢圓的焦點坐標(biāo)，當(dāng)直線MN的斜率不存在，求得丨MN丨及丨PQ丨，即可求得$\frac{{|PQ{|^2}}}{|MN|}$，當(dāng)直線MN的斜率不存在時，代入橢圓方程，利用韋達(dá)定理及弦長公式分別求得丨MN丨及丨PQ丨，即可求得$\frac{{|PQ{|^2}}}{|MN|}$=2$\sqrt{2}$．

解答 解：由題意的$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$左焦點F（-1，0），
當(dāng)直線MN的斜率不存在時，則丨MN丨=$\frac{2^{2}}{a}$=$\sqrt{2}$，則丨PQ丨=2b=2，
則$\frac{{|PQ{|^2}}}{|MN|}$=$\frac{4}{\sqrt{2}}$=2$\sqrt{2}$，
當(dāng)直線MN的斜率存在，設(shè)直線MN的斜率k，則MN的方程y=k（x+1），M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x+1）}\\{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，整理得：（2k²+1）x²+4k²x+2k²-2=0，
由韋達(dá)定理可知：x₁+x₂=-$\frac{4{k}^{2}}{2{k}^{2}+1}$，x₁x₂=$\frac{2{k}^{2}-2}{2{k}^{2}+1}$，
丨MN丨=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{2\sqrt{2}（{k}^{2}+1）}{2{k}^{2}+1}$，
則直線PQ的方程y=kx，P（x₃，y₃），Q（x₄，y₄），
則$\left\{\begin{array}{l}{y=kx}\\{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，解得：x²=$\frac{2}{1+2{k}^{2}}$，y²=$\frac{2{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$，
則丨OP丨²=x²+y²=$\frac{2}{1+2{k}^{2}}$+$\frac{2{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$=$\frac{2+2{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$=$\frac{2（1+{k}^{2}）}{1+2{k}^{2}}$，
則丨PQ丨=2丨OP丨，則丨PQ丨²=4丨OP丨²=$\frac{8（1+{k}^{2}）}{1+2{k}^{2}}$，
∴$\frac{{|PQ{|^2}}}{|MN|}$=2$\sqrt{2}$，
故答案為：$2\sqrt{2}$．

點評 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及簡單幾何性質(zhì)，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，韋達(dá)定理，弦長公式，考查計算能力，屬于中檔題．