Question

15．已知函數(shù)f（x）=（x+1）e^x-$\frac{1}{2}{x^2}$-ax（a∈R，e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）在（0，f（0））處的切線與x軸平行．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）設(shè)g（x）=（e^x+2m-2）x-$\frac{1}{2}{x^2}$-n，若?x∈R，不等式f（x）≥g（x）恒成立，求m-$\frac{n}{2}$的最大值．

Answer 1

分析 （1）求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的意義得出a=2，利用導(dǎo)函數(shù)得出函數(shù)的單調(diào)性；
（2）不等式整理為e^x≥2mx-n，恒成立問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題，構(gòu)造函數(shù)h（x）=e^x-2mx+n，利用導(dǎo)函數(shù)求出函數(shù)的最小值，進(jìn)而得出結(jié)論．

解答 解：（1）f'（x）=（x+2）e^x-x-a，
由已知得f'（0）=2-a=0，得a=2，
則f'（x）=（x+2）（e^x-1）．
令f'（x）＞0，解得x＞0或x＜-2，
故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，-2）和（0，+∞）．
（2）不等式f（x）≥g（x），可化為e^x≥2mx-n，
記h（x）=e^x-2mx+n，h'（x）=e^x-2m，
當(dāng)m≤0時(shí)，h'（x）＞0恒成立，則h（x）在R上遞增，沒有最小值，故不成立；
當(dāng)m＞0時(shí)，令h'（x）=0，解得x=ln2m，當(dāng)x∈（-∞，ln2m）時(shí)，h'（x）＜0；當(dāng)x∈（ln2m，+∞）時(shí)，h'（x）＞0，
當(dāng)x=ln2m時(shí)，函數(shù)h（x）取得最小值h（ln2m）=e^ln2m-2mln2m+n≥0，
即2m-2mln2m≥-n，則$2m-mln2m≥m-\frac{n}{2}$，
令F（m）=2m-mln2m（m＞0），F(xiàn)'（m）=1-ln2m，令F'（m）=0，則$m=\frac{e}{2}$，當(dāng)$m∈（{0，\frac{e}{2}}）$時(shí)，F(xiàn)（m）＞0；
當(dāng)$m∈（{\frac{e}{2}，+∞}）$時(shí)，F(xiàn)（m）＜0，
故當(dāng)$m=\frac{e}{2}$時(shí)，F(xiàn)（m）取得最大值$F（{\frac{e}{2}}）=\frac{e}{2}$，
所以$\frac{e}{2}≥m-\frac{n}{2}$，即$m-\frac{n}{2}$的最大值為$\frac{e}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 考查了導(dǎo)數(shù)的意義和利用導(dǎo)函數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，求函數(shù)的最值．難點(diǎn)是函數(shù)的構(gòu)造和最值的求解．