Question

已知數(shù)列{a_n}（n∈N⁺）滿足：a_n=log_n+1（n+2），定義：使a₁•a₂•a₃…a_n．為整數(shù)的數(shù)k（k∈N⁺）叫做“希望數(shù)”，則區(qū)間[1，2013]內(nèi)所有希望數(shù)的和等于（　　）

• A、2026
• B、2036
• C、2046
• D、2048

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,對數(shù)的運算性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：利用a_n=log_n+1（n+2），化簡a₁•a₂•a₃…a_k，得k=2^m-2，給m依次取值，可得區(qū)間[1，2013]內(nèi)所有希望數(shù)，然后求和．

解答： 解：a_n=log_n+1（n+2），
∴由a₁•a₂•a₃…a_k為整數(shù)得，log₂3•log₃4…log_（k+1）（k+2）=log₂（k+2）為整數(shù)，
設(shè)log₂（k+2）=m，則k+2=2^m，∴k=2^m-2； 因為2¹¹=2048＞2013，
∴區(qū)間[1，2013]內(nèi)所有希望數(shù)為2²-2，2³-2，2⁴-2，2¹⁰-2，
其和M=2²-2+2³-2+2⁴-2+…+2¹⁰-2=2026．
故選：A．

點評：本題考查對數(shù)函數(shù)的運算性質(zhì)，數(shù)列求和，求出區(qū)間[1，2013]內(nèi)所有希望數(shù)為2²-2，2³-2，2⁴-2，2¹⁰-2，是解題的關(guān)鍵．