Question

在如圖所示的幾何體中，四邊形ABCD和ABEF均為矩形，M為AF的中點，BN⊥CE與N．
（1）求證：CF∥平面MBD；
（2）求證：平面EFC⊥平面BDN．

Answer 1

考點：平面與平面垂直的判定,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（Ⅰ）連接AC交BD于點O，連接OM，由三角形中位線定理得CF∥OM，由此能證明CF∥平面MBD．
（Ⅱ）由四邊形ABCD和ABEF均為矩形，得AB⊥平面BCE，從而BN⊥面EFC，由此能證明平面EFC⊥平面BDN．

解答： 證明：（Ⅰ）連接AC交BD于點O，連接OM．
因為四邊形ABCD是正方形，所以O(shè)為AC的中點．
因為M為AF的中點，所以CF∥OM，
又OM?平面MBD，CF?平面MBD，
所以CF∥平面MBD．（6分）
（Ⅱ）因為四邊形ABCD和ABEF均為矩形，
所以AB⊥平面BCE，
所以AB⊥BN，又AB∥EF，所以BN⊥EF，
又BN⊥EC（已知），
所以BN⊥面EFC，
又BN?平面BDN，所以平面EFC⊥平面BDN．（12分）

點評：本題考查線面平行的證明，考查面面垂直的證明，考查方程思想、等價轉(zhuǎn)化思想等數(shù)學(xué)思想方法和學(xué)生的空間想象能力、邏輯推理能力和運算求解能力，是中檔題．