Question

3．設(shè)復(fù)數(shù)z_n=x_n+i•y_n，其中x_ny_n∈R，n∈N^*，i為虛數(shù)單位，z_n+1=（1+i）•z_n，z₁=3+4i，復(fù)數(shù)z_n在復(fù)平面上對應(yīng)的點為Z_n．
（1）求復(fù)數(shù)z₂，z₃，z₄的值；
（2）是否存在正整數(shù)n使得$\overrightarrow{O{Z_n}}$∥$\overrightarrow{O{Z_1}}$？若存在，求出所有滿足條件的n；若不存在，請說明理由；
（3）求數(shù)列{x_n•y_n}的前102項之和．

Answer 1

分析 （1）利用已知條件之間求解z₂，z₃，z₄．
（2）求出${z_n}={（1+i）^{n-1}}{z_1}$，利用復(fù)數(shù)的冪運算，求解即可．
（3）通過${z_{n+4}}={（1+i）^4}{z_n}=-4{z_n}$，推出x_n+4=-4x_n，y_n+4=-4y_n，得到x_n+4y_n+4=16x_ny_n，然后求解數(shù)列的和即可．

解答 本題（18分），第1小題（4分），第2小題（6分），第3小題（8分）．
解：（1）z₂=（1+i）（3+4i）=-1+7i，z₃=-8+6i，z₄=-14-2i．…（4分）
（算錯一個扣（1分），即算對一個得（2分），算對兩個得3分）
（2）若$\overrightarrow{O{Z_n}}$∥$\overrightarrow{O{Z_1}}$，則存在實數(shù)λ，使得$\overrightarrow{O{Z_n}}=λ\overrightarrow{O{Z_1}}$，故z_n=λ•z₁，
即（x_n，y_n）=λ（x₁，y₁），…（3分）
又z_n+1=（1+i）z_n，故${z_n}={（1+i）^{n-1}}{z_1}$，即（1+i）^n-1=λ為實數(shù)，…（5分）
故n-1為4的倍數(shù)，即n-1=4k，n=4k+1，k∈N．   …（6分）
（3）因為${z_{n+4}}={（1+i）^4}{z_n}=-4{z_n}$，故x_n+4=-4x_n，y_n+4=-4y_n，…（2分）
所以x_n+4y_n+4=16x_ny_n，…（3分）
又x₁y₁=12，x₂y₂=-7，x₃y₃=-48，x₄y₄=28，
x₁y₁+x₂y₂+x₃y₃+…+x₁₀₀y₁₀₀
=（x₁y₁+x₂y₂+x₃y₃+x₄y₄）+（x₅y₅+x₆y₆+x₇y₇+x₈y₈）+…+（x₉₇y₉₇+x₉₈y₉₈+x₉₉y₉₉+x₁₀₀y₁₀₀）
=$（12-7-48+28）•\frac{{1-{{16}^{25}}}}{1-16}=1-{2^{100}}$，…（6分）
而${x_{101}}{y_{101}}={16^{25}}{x_1}{y_1}=12×{2^{100}}$，${x_{102}}{y_{102}}={16^{25}}{x_2}{y_2}=-7×{2^{100}}$，…（7分）
所以數(shù)列{x_ny_n}的前102項之和為1-2¹⁰⁰+12×2¹⁰⁰-7×2¹⁰⁰=1+2¹⁰²．…（8分）

點評 本題考查復(fù)數(shù)的基本運算，復(fù)數(shù)的代數(shù)形式混合運算，考查數(shù)列求和，考查計算能力．