Question

20．我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中有：“今有羨除，下廣六尺，上廣一丈，深三尺，末廣八尺，無深，袤七尺，問積幾何？”羨除即三個面是等腰梯形、兩側(cè)面是三角形的五面梯形ABCDEF隧道（如圖），其中，等腰梯形ABCD的下、上底邊長分別為6尺和1丈，高為3尺，平面ABCD⊥平面ABFE，等腰梯形ABFE的上底邊長為8尺，高為7尺，則得到此“羨除”的容積（　�。�

• A． 約84立方尺
• B． 約為105立方尺
• C． 恰為84立方尺
• D． 恰為105立方尺

Answer 1

分析 五面體EF-ABCD中，四邊形ADEF，ABCD，EFBC均為等腰梯形，EF∥AD∥BC，△ABF，△CDE均為直角三角形，連接BE，BD，AE，得到三個三棱錐，設(shè)三棱錐BAEF的體積為V₁，三棱錐BAED的體積為V₂，三棱錐BDEC的體積為V₃，由此能求出五面體的體積．

解答 解：本題是求規(guī)則形狀的五面體的體積，
如圖，五面體EF-ABCD中，四邊形ADEF，ABCD，EFBC均為等腰梯形，
EF∥AD∥BC，△ABF，△CDE均為直角三角形，
AB⊥AF，CD⊥DE，設(shè)下廣EF=a，上廣AD=b，末廣BC=c，
高EF到平面ABCD的距離為h，AD與BC的距離為l，
連接BE，BD，AE，如圖2，
得到三個三棱錐，設(shè)三棱錐BAEF的體積為V₁，三棱錐BAED的體積為V₂，三棱錐BDEC的體積為V₃，
則${V}_{3}=\frac{1}{6}clh$，${V}_{2}=\frac{1}{6}blh$，$\frac{{V}_{1}}{{V}_{2}}$=$\frac{a}$，${V}_{1}=\frac{a}{V}_{2}$，
∴${V}_{1}=\frac{a}{{V}_{2}}^{\;}$=$\frac{1}{6}alh$，
∴五面體的體積：
V=V₁+V₂+V₃=$\frac{1}{6}$（a+b+c）×h×l=$\frac{1}{6}$（6+10+8）×3×7=84（立方尺）．
故選：C．

點評 本題考查幾何體的體積及直線與直線、直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查考查推理論證能力、運算求解能力、空間想象能力，考查化歸轉(zhuǎn)化思想，數(shù)形結(jié)合思想，是中檔題．