Question

已知α，β為鈍角，若sin（α+β）=2sin（α-β），則tan（α-β）的最小值是

 

．

Answer 1

考點：兩角和與差的正切函數(shù)

專題：三角函數(shù)的求值,不等式的解法及應(yīng)用

分析：由已知可得3tanβ=tanα，根據(jù)兩角差的正切函數(shù)化簡可得tan（α-β）=

2

1 tanβ +3tanβ

，結(jié)合角的范圍，由基本不等式即可求解．

解答： 解：∵sin（α+β）=2sin（α-β），
⇒sinαcosβ+cosαsinβ=2（sinαcosβ-cosαsinβ）
⇒3cosαsinβ=sinαcosβ
⇒3tanβ=tanα，
∴tan（α-β）=

tanα-tanβ

1+tanαtanβ

=

2tanβ

1+3tan2β

=

2

1 tanβ +3tanβ

，①
∵β為鈍角，
∴tanβ＜0，
∴

1

tanβ

+3tanβ=-（|

1

tanβ

|+3|tanβ|）≤-2

3

，
∴①式≥

2

-2 3

=-

3

3

．
∴tan（α-β）的最小值是-

3

3

．
故答案為：-

3

3

．

點評：本題主要考查了兩角差的正切公式的應(yīng)用，考查了基本不等式的應(yīng)用，屬于基本知識的考查．