Question

14．已知直線l的方程為2x+（1+m）y+2m=0，m∈R，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-1，0）．
（1）求證：直線l恒過(guò)定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）求點(diǎn)P到直線l的距離的最大值．

Answer 1

分析 （1）把直線方程變形得，2x+y+m（y+2）=0，聯(lián)立方程組$\left\{\begin{array}{l}{2x+y=0}\\{y+2=0}\end{array}\right.$，求得方程組的解即為直線l恒過(guò)的定點(diǎn)．
（2）設(shè)點(diǎn)P在直線l上的射影為點(diǎn)M，由題意可得|PM|≤|PQ|，再由兩點(diǎn)間的距離公式求得點(diǎn)P到直線l的距離的最大值

解答 （1）證明：由2x+（1+m）y+2m=0，得2x+y+m（y+2）=0，
∴直線l恒過(guò)直線2x+y=0與直線y+2=0的交點(diǎn)Q，
解方程組$\left\{\begin{array}{l}{2x+y=0}\\{y+2=0}\end{array}\right.$，得Q（1，-2），
∴直線l恒過(guò)定點(diǎn)，且定點(diǎn)為Q（1，-2）．
（2）解：設(shè)點(diǎn)P在直線l上的射影為點(diǎn)M，則|PM|≤|PQ|，
當(dāng)且僅當(dāng)直線l與PQ垂直時(shí)，等號(hào)成立，
∴點(diǎn)P到直線l的距離的最大值即為線段PQ的長(zhǎng)度，等于 $\sqrt{{（-1-1）}^{2}{+2}^{2}}$=2$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了直線系方程問(wèn)題，考查了點(diǎn)到直線的距離公式，正確理解題意是關(guān)鍵，是中檔題．