Question

4．已知函數(shù)f（x）=（4a-3）x+b-2a，x∈[0，1]，若f（x）≤2恒成立．
（1）當(dāng)a=$\frac{1}{2}$時(shí)，求實(shí)數(shù)b的取值范圍；
（2）畫出點(diǎn)P（a，b）表示的平面區(qū)域，并求z=a+b的最大值．

Answer 1

分析 （1）問題轉(zhuǎn)化為b≤x+3在x∈[0，1]恒成立，求出b的范圍即可；（2）利用函數(shù)的單調(diào)性建立a，b的關(guān)系，通過線性規(guī)劃的知識解決最值問題．

解答 解：（1）a=$\frac{1}{2}$時(shí)，f（x）=-x+b-1≤2，x∈[0，1]，
∴b≤x+3在x∈[0，1]恒成立，
∴b≤3；
（2）根據(jù)題意，$\left\{\begin{array}{l}{f（0）=b-2a≤2}\\{f（1）=b+2a-3≤2}\end{array}\right.$，
如圖示：

由$\left\{\begin{array}{l}{2a-b+2=0}\\{2a+b-5=0}\end{array}\right.$，解得A（$\frac{3}{4}$，$\frac{7}{2}$），
由線性規(guī)劃知識知，
當(dāng)a=$\frac{3}{4}$，b=$\frac{7}{2}$時(shí)，z達(dá)到最大值$\frac{17}{4}$，
∴z=a+b的最大值為：$\frac{17}{4}$．

點(diǎn)評 本題考查了以函數(shù)恒成立為載體，利用線性規(guī)劃知識求最值的問題，是一道中檔題．