Question

19．（文科做）已知△ABC的三邊長AC=3，BC=4，AB=5，P為AB邊的中點，則$\overrightarrow{CP}$•（$\overrightarrow{BA}$-$\overrightarrow{BC}$）=$\frac{9}{2}$．

Answer 1

分析 先將$\overrightarrow{CP}$•（$\overrightarrow{BA}$-$\overrightarrow{BC}$）轉(zhuǎn)化為$\overrightarrow{CP}•\overrightarrow{CA}$，再利用三角形的各邊長、余弦定理求出$\overrightarrow{CP}•\overrightarrow{CA}$的夾角的余弦值，繼而根據(jù)平面向量數(shù)量積的定義計算得出答案．

解答 解：∵△ABC的三邊長AC=3，BC=4，AB=5，
∴△ABC是以AB邊為斜邊的直角三角形，
∵P為AB邊的中點，
∴CP=$\frac{1}{2}$AB=AP=$\frac{5}{2}$，
∵$\overrightarrow{CP}$•（$\overrightarrow{BA}$-$\overrightarrow{BC}$）=$\overrightarrow{CP}•\overrightarrow{CA}$，
∴cos∠PCA=$\frac{{PC}^{2}+A{C}^{2}-A{P}^{2}}{2•PC•AC}$=$\frac{\frac{25}{4}+9-\frac{25}{4}}{2×3×\frac{5}{2}}$=$\frac{3}{5}$，
∴$\overrightarrow{CP}$•（$\overrightarrow{BA}$-$\overrightarrow{BC}$）=$\overrightarrow{CP}•\overrightarrow{CA}$=$|\overrightarrow{CP|}•|\overrightarrow{CA}|•cos∠PCA$=$\frac{5}{2}×3×\frac{3}{5}$=$\frac{9}{2}$
故答案為：$\frac{9}{2}$．

點評 本題考查了向量的運算，主要是平面向量數(shù)量積的運算，考查了計算能力，屬于中檔題．