Question

已知圓C經(jīng)過P(4，－2)，Q(－1,3)兩點，且在y軸上截得的線段長為4，半徑小于5.
（Ⅰ）求直線PQ與圓C的方程；
（Ⅱ）若直線l∥PQ，直線l與圓C交于點A，B且以線段AB為直徑的圓經(jīng)過坐標原點，求直線l的方程．

Answer 1

（Ⅰ） (x－1)²＋y²＝13.（Ⅱ）y＝－x＋4或y＝－x－3.

解析試題分析：（Ⅰ）直線PQ的方程為：x＋y－2＝0，
設(shè)圓心C(a，b)半徑為r，
由于線段PQ的垂直平分線的方程是y－＝x－，即y＝x－1，
所以b＝a－1.                                   ①
又由在y軸上截得的線段長為4，知r²＝12＋a²，
可得(a＋1)²＋(b－3)²＝12＋a²，                                  ②
由①②得： a＝1，b＝0或a＝5，b＝4.
當a＝1，b＝0時，r²＝13滿足題意，
當a＝5，b＝4時，r²＝37不滿足題意，
故圓C的方程為(x－1)²＋y²＝13.
（Ⅱ）設(shè)直線l的方程為y＝－x＋m，A(x₁，m－x₁)，B(x₂，m－x₂)，
由題意可知OA⊥OB，即＝0，
∴x₁x₂＋(m－x₁)(m－x₂)＝0， 化簡得2x₁x₂－m(x₁＋x₂)＋m²＝0.       ③
由得2x²－2(m＋1)x＋m²－12＝0，
∴x₁＋x₂＝m＋1，x₁x₂＝.
代入③式，得m²－m·(1＋m)＋m²－12＝0，
∴m＝4或m＝－3，經(jīng)檢驗都滿足判別式Δ>0，
∴y＝－x＋4或y＝－x－3.
考點：圓的標準方程，直線方程，直線與圓的位置關(guān)系，向量垂直的條件。
點評：中檔題，求圓的方程，一般利用待定系數(shù)法，本題解法是從確定圓心、半徑入手，體現(xiàn)解題的靈活性。直線與圓的位置關(guān)系問題，往往涉及圓的“特征三角形”，利用勾股定理解決弦長計算問題。利用代數(shù)法研究直線與圓的位置關(guān)系，常常應(yīng)用韋達定理，簡化解題過程。