Question

【題目】如圖，ABCD是菱形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2，∠BAD=60°．
（1）求證：平面PBD⊥平面PAC；
（2）求二面角D﹣PB﹣C的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：由ABCD是菱形可得BD⊥AC，

因為PA⊥平面ABCD，BD平面ABCD，

所以PA⊥BD，又PA∩AC=A，

所以BD⊥平面PAC，又BD平面PBD，

故平面PBD⊥平面PAC．

（2）解：以 為x軸的正方向， 為y軸的正方向，建立如圖所示的直角坐標系，

則O（0，0，0），B（0，1，0）， ， ．

設平面PBD的一個法向量 ，

由 ， ，可得 ，即 ，

所以可取 ．

同理可得平面PBC的一個法向量 ．

所以 ．

故二面角D﹣PB﹣C的余弦值為 ．

【解析】（1）推導出BD⊥AC，PA⊥BD，從而BD⊥平面PAC，由此能證明平面PBD⊥平面PAC．（2）以 為x軸的正方向， 為y軸的正方向，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出二面角D﹣PB﹣C的余弦值．
【考點精析】根據(jù)題目的已知條件，利用平面與平面垂直的判定的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直．